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SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE CRECIMIENTO POBLACIONAL POR MEDIO DE LA APLICACIÓN DEL MÉTODO DE RUNGE - KUTTA DE CUARTO ORDEN








RESUMEN: Este proyecto muestra el desarrollo experimental de la solución de ecuaciones por el método runge-kutta de cuarto orden, para la cual se utilizó aplicaciones de Excel, soluciones analíticas y el programa de wplotsp. Utilizamos la ecuación dada paraeste método, nos permite minimizar el trabajo de la solución de cálculos, pero se realizaron para demostrar resultados y la graficación para poder hacerles los respectivos análisis y comportamiento de la ecuación dada, para este desarrollo se necesito mucha concentración y manejo de estas aplicaciones. Posterior al desarrollo de las ecuaciones en Excel y wplotsp se procedió a realizar el algoritmo yprograma que nos permitirán conocer rápidamente los resultados requeridos con solo ingresar datos necesarios. El método Runge-kutta mostro que minimiza mucho mas el numero de solución de una ecuación diferencial, cambiando de una ecuación de 4 orden a una ecuación cuadrática u otra de menor grado de dificultad con respecto a los métodos utilizados anteriormente, todo esto utilizadas en laaplicación Excel y la realización de dicho programa en C++.


PALABRAS CLAVE: programa, ecuación, método Runge-kutta, grafica.


INTRODUCCIÓN

En este informe sobre Runge-kutta de cuarto orden, podemos encontrar la descripción del desarrollo de la experiencia en su orden como lo son su resumen, fundamentos teóricos, ecuaciones y graficas con sus análisis, cálculos matemáticos, análisis deellos, las conclusiones de lo realizado y las referencias.


FUNDAMENTOS TEORICOS

Desde 1950, la población mundial se ha duplicado y en la actualidad el número de habitantes ronda los 6.000 millones. En este sentido, el crecimiento poblacional es motivo de preocupación mundial. Sin embargo, este


Crecimiento no es homogéneo, se observan periodos de disminución y/o en aumento, a suvez, ha variado también de unos espacios geográficos a otros.
Las causas del acelerado crecimiento de la población son múltiples, la primordial es la disminución de la mortalidad. Este descenso se ha producido como consecuencia de los avances sanitarios, económicos y tecnológicos que posibilitaron la desaparición de epidemias y la difusión de nuevas técnicas industriales. La expansión de esteprogreso en los países en desarrollo se produjo con celeridad, paralelo a la existencia de tasas de natalidad altas, dando lugar al fenómeno de la explosión demográfica.
Otra de las causas a señalar es el efecto acumulativo ya que existe una cantidad de personas que se agrega cada año, este fenómeno recibe el nombre de impulso demográfico.
Como última causa se puede señalar la gran proporción depoblación joven, a medida que los jóvenes van aumentando en edad, el número total de nacimientos es mayor, aún cuando las parejas tengan sólo dos hijos.
En la actualidad, la tasa de crecimiento anual es de 1,2% aunque se observan grandes disparidades a nivel mundial. A su vez, el mayor crecimiento de la población se produce principalmente en los países en desarrollo.
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El método de runge-kuttaes un método muy eficiente y mas complejo para realizar soluciones de ecuaciones diferenciales, este presente un nivel bajo de dificultad y mayor rapidez en solución, así podemos ver como una ecuación diferencial de mucho mayor orden queda resuelta de manera eficiente, confiable y acta para la implementación matemática.

El método de Runge-kutta de cuarto orden consiste en determinar lasconstantes adecuadas para que la fórmula




Donde:









Coincida con un polinomio de Taylor de cuarto grado. Con lo anterior se obtienen 11 ecuaciones con 13 incógnitas. El conjunto de valores de las constantes que más se usa produce el siguiente resultado:








Se recomienda examinar con cuidado estas formulas; observe que depende de ,, de , y de . También, en y...