metodos numericos

Método de Cardano
Sea una ecuación algebraica polinomial de tercer grado completa sin normalizar en una sola variable de la forma
con (1)
donde son sus coeficientes polinomiales. Seanlas tres raíces de la ecuación que deseamos calcular. Dividiendo ambos lados de la ecuación por su coeficiente principal obtenemos

si definimos , la ecuación queda como

con lo cual hemos yanormalizado la ecuación , pues es más fácil de trabajar la ecuación ya normalizada que la ecuación , pero con la ventaja de que las raíces de ambas son exactamente iguales. Ahora, realicemos latransformación de Tschirnhausen, dada en la forma

lo que nos permite eliminar el término de la potencia cuadrática cuando se sustituye la ecuación en la ecuación , así se obtiene

donde aldesarrollarse los binomios y simplificar términos comunes nos da

y si hacemos las sustituciones arbitrarias pero convenientes

obtenemos la ecuación

a la cual se le llama ecuación cúbica reducida porcontener un término menos (en este caso ha desaparecido el término cuadrático por el uso de la transformación de Tschirnhausen) que la ecuación completa , la cual es más fácil de resolver que la ecuación, de modo que si resolvemos la ecuación entonces las raíces de la ecuación se calcularán de forma sencilla usando la ecuación por ser esta una relación lineal e invertible. Note que si , implicanecesariamente según las ecuaciones y que . La ecuación tiene tres raíces que se calculan como sigue:



donde los valores de , y se definen como

donde es el discriminante de la ecuación cúbica ynos ayuda a establecer cuatro casos posibles distintos como sigue.
Caso 1. Una raíz real y dos complejas conjugadas entre sí
Si y , para , se tiene para la ecuación una raíz real dada como por laecuación y dos raíces complejas conjugadas , dadas por las ecuaciones y . Al restar a cada una de estas raíces la cantidad de acuerdo a la ecuación se obtiene una raíz real y dos complejas conjugadas...