Metodos Numericos

M´todos Num´ricos e e
Sergio Galv´n Ph.D. a Fac. de Ing. Mec´nica UMSNH a
c Sergio Galv´n a

23 de septiembre de 2011

Cap´ ıtulo 1 ´ INTRODUCCION
Objetivo del Curso es introducir al estudiante a los m´todos num´ricos los e e cuales pueden ser usados para resolver problemas matem´ticos derivados de la ina genier´ y de la investigaci´n que no se pueden resolver por m´todos exactos. Este ıao e curso considera muchos de los problemas b´sicos que surgen en todas las ramas de a la ingenier´ y la ciencia. La mayor´ de los problemas presentados aqu´ permiten ıa ıa ı mostrar las caracter´ ısticas especiales de varios m´todos de resoluci´n. Los problee o mas presentados como ejemplo tienen una soluci´n exacta por lo tanto los errores o presentados por varios m´todos pueden ser comparados.e En resumen, los m´todos num´ricos: e e Constituyen procedimientos alternativos provechosos para resolver problemas matem´ticos para los cuales se dificulta la utilizaci´n de m´todos anal´ a o e ıticos tradicionales y, ocasionalmente, son la unica opci´n posible de soluci´n. ´ o o Son t´cnicas mediante las cuales un modelo matem´tico es resuelto usando e a solamente operaciones aritm´ticas, . . .tediosos c´lculos aritm´ticos e a e Son t´cnicas sistem´ticas cuyos resultados son aproximaciones del verdadero e a valor que asume la variable de inter´s; la repetici´n consistente de la t´cnica, e o e a lo cual se le denomina iteraciones, es lo que permite acercarse cada vez m´s a al valor buscado. Programa: 1. Introducci´n o 2. Soluci´n de ecuaciones lineales o 1

2 3. Soluci´n deecuaciones no lineales o

´ CAP´ ITULO 1. INTRODUCCION

4. Ajuste de funciones: Aproximaci´n e interpolaci´n de polinomios. o o 5. Diferenciaci´n e Integraci´n Num´rica o o e 6. Soluci´n de ecuaciones diferenciales: Valores iniciales y a la frontera. o

1.0.1.

Soluci´n de un Problema De Ingenieria o

El modelo matem´tico es una formulaci´n o una ecuaci´n que expresa las cara o o acter´ ısticasesenciales de un sistema f´ ısico o de un proceso en t´rminos matem´ticos. e a En forma general, el modelo puede ser representado mediante una relaci´n funcional o de la forma: (1.1) Variable dependiente = f(variable independiente, par´metros, funciones de fuerza) a

Variable dependiente = Refuerza el comportamiento o el estado del sistema. Variable independiente = Dimensiones, tiempo y espacio atrav´s de los cuales el e comportamiento del sistema ser´ determinado. a Par´metros = Son el refuerzo de las propiedades o la composici´n del sistema. a o Funciones de Fuerza = Influencias externas que act´an sobre el sistema. u La expresi´n matem´tica del a ecuaci´n 1.1 va desde una simple relaci´n alo a o o gebraica hasta un complicado grupo de ecuaciones diferenciales. Ejemplo: Newton formul´la 2da ley del movimiento: la raz´n de cambio del o o momentum con respecto al tiempo de un cuerpo es igual a la fuerza resultante que act´a sobre ´l. u e

(1.2)

F =m·a=m

dv dt

m · dv − momentum F − fuerza que act´a sobre el objeto(N, kg m/s2 ) u m − masa del objeto(kg) a − aceleraci´n(m/s2 ). o

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(1.3)

a=

F m

a − Variable dependiente (refleja el comportamiento delsistema) F − Funci´n fuerza o m − Par´metro (representa la propiedad del sistema) a Note que en este caso sencillo no existe variable independiente porque a´n no u se predice c´mo var´ la aceleraci´n con respecto al tiempo o al espacio. o ıa o La ecuaci´n 1.3 tiene varias caracter´ o ısticas t´ ıpicas de los modelos matem´ticos a del mundo f´ ısico: 1. Describe un sistema o proceso natural en t´rminosmatem´ticos. e a 2. Representa una idealizaci´n y una simplificaci´n de la realidad. o o 3. Conduce a resultados predecibles y en consecuencia puede emplearse con prop´soo tos de predicci´n . o Esta ecuaci´n, 1.3, se puede utilizar para determinar la velocidad final de la o caida libre de un cuerpo cerca de la superficie de la tierra, como el que se presenta en la figura 1.1. D´nde FD es la fuerza...