metodos numericos

 
EJERCICIO N° 1
En un reactor se realizan las siguientes reacciones:
A+B→C+D
A+C→2E
Las constantes de equilibrio son: K_P1=2.6 ;〖 K〗_P2=3.1
Las composiciones iniciales son: A=2mol/L y B=1mol/L
¿Cuál es la composición del reactor (salida) si se alcanza el equilibrio?
SOLUCIÓN
x=moles de A convertidos en la reacción 1
y=moles de A convertidos en la reacción 2
En el equilibrio:moles de A= 2-x-y
moles de B= 1-x
moles de C= x-y
moles de D= x
moles de E= 2y
K_P1=([C][D])/([A][B])=((x-y)(x))/((2-x-y)(1-x))=2.6
K_P2=[E]^2/([A][C])=〖(2y)〗^2/((2-x-y)(x-y))=3.1
Reordenando el sistema tenemos:
f_1 (x,y)= 〖1.6x〗^2+3.6xy-7.8x-2.6y+5.2= 0
f_2 (x,y)= 〖3.1x〗^2-6.2x+6.2y+0.9y^2= 0
Usando el método de Newton-Raphson Modificado para encontrar una solución aproximadadel sistema, usando los valores iniciales 〖[x^0,y^0]〗^T=〖[0.6,0.5]〗^T

Primera iteración
〖Para el cálculo de x^1 se evaluan f_(1 ) y ( ∂f_(1 ))⁄∂x en [x^0,y^0]〗^T=〖[0.6,0.5]〗^T

x1=xo-(f_1 (xo,yo))/(├ (∂f_1)/∂x┤| ■(@xo,yo))=xo-(〖1.6(xo)〗^2-7.8(xo)-2.6(yo)+3.6(xo)(yo)+5.2)/(3.2(xo)+3.6(yo)-7.8)

x1=0.6-(〖1.6(0.6)〗^2-7.8(0.6)-2.6(0.5)+3.6(0.6)(0.5)+5.2)/(3.2(0.6)+3.6(0.5)-7.8)=0.8147Para el cálculo de y^1 se necesita evaluar f_2 〖 y ( ∂f_(2 ))⁄∂y en [x^1,y^0]〗^T=〖[0.8147,0.5]〗^T

y1=yo-(f_2 (x1,yo))/(├ (∂f_2)/∂y┤| ■(@x1,yo))=yo-(〖3.1(x1)〗^2-6.2(x1)+6.2(yo)+0.9(yo)^2)/(1.8(yo)+6.2)=0.4533

y1=0.5-(〖3.1(0.8147)〗^2-6.2(0.8147)+6.2(0.5)+0.9(0.5)^2)/(1.8(0.5)+6.2)=0.4533

Calculo de la distancia entre:〖 x〗^((0)) y x^((1)):

error=√(〖(x1-xo)〗^2+〖(y1-yo)〗^2)=√((0.8147-0.6)^2+(0.4533-0.5)^2 )

error=0.21972

Segunda iteración

〖Para el cálculo de x^2 se evaluan f_(1 ) y ( ∂f_(1 ))⁄∂x en [x^1,y^1]〗^T=〖[0.8147,0.4533]〗^T

x2=x1-(f_1 (x1,y1))/(├ (∂f_1)/∂x┤| ■(@x1,y1))=x1-(〖1.6(x1)〗^2-7.8(x1)-2.6(y1)+3.6(x1)(y1)+5.2)/(3.2(x1)+3.6(y1)-7.8)

x2=0.8147-(〖1.6(0.8147)〗^2-7.8(0.8147)-2.6(0.4533)+3.6(0.8147)(0.4533)+5.2)/(3.2(0.8147)+3.6(0.4533)-7.8)
x2=0.8311〖Para el cálculo de y^2 se necesita evaluar f〗_2 〖 y ( ∂f_(2 ))⁄∂y en [x^2,y^1]〗^T=〖[0.8311,0.4533]〗^T

y2=y1-(f_2 (x2,y1))/(├ (∂f_2)/∂y┤|x2,y1)=y1-(〖3.1(x2)〗^2-6.2(x2)+6.2(y1)+0.9〖(y1)〗^2)/(1.8(y1)+6.2)

y2=0.4533-(〖3.1(0.8311)〗^2-6.2(0.8311)+6.2(0.4533)+0.9(0.4533)^2)/(1.8(0.4533)+6.2)

y2=0.4556

Calculo de la distancia entre:〖 x〗^((1)) y x^((2)):error=√(〖(x2-x1)〗^2+〖(y2-y1)〗^2 )=√((0.8311-0.8147)^2+(0.4556-0.4533)^2 )

error=0.01696

Tercera iteración

〖Para el cálculo de x^3 se evaluan f_(1 ) y ( ∂f_(1 ))⁄∂x en [x^2,y^2]〗^T=〖[0.8311,0.4556]〗^T

x3=x2-(f_1 (x2,y2))/(├ (∂f_1)/∂x┤| ■(@x2,y2))=x2-(〖1.6(x2)〗^2-7.8(x2)-2.6(y2)+3.6(x2)(y2)+5.2)/(3.2(x2)+3.6(y2)-7.8)x3=0.8311-(〖1.6(0.8311)〗^2-7.8(0.8311)-2.6(0.4556)+3.6(0.8311)(0.4556)+5.2)/(3.2(0.8311)+3.6(0.4556)-7.8)

x3=0.8314

〖 Para el cálculo de y^3 se necesita evaluar f〗_2 〖 y ( ∂f_(2 ))⁄∂y en [x^3,y^2]〗^T=〖[0.8314,0.4556]〗^T

y3=y2-(f_2 (x3,y2))/(├ (∂f_2)/∂y┤| ■(@x3,y2))=y2-(〖3.1(x3)〗^2-6.2(x3)+6.2(y2)+0.9〖(y2)〗^2)/(1.8(y2)+6.2)

y3=0.4556-(〖3.1(0.8314)〗^2-6.2(0.8314)+6.2(0.4556)+0.9(0.4556)^2)/(1.8(0.4556)+6.2)

y3=0.4557

Calculo de la distancia entre:〖 x〗^((2)) y x^((3)):error=√(〖(x3-x2)〗^2+〖(y3-y2)〗^2 )=√((0.8314-0.8311)^2+(0.4557-0.4556)^2 )

error=0.00030

Cuarta iteración

〖Para el cálculo de x^4 se evaluan f_(1 ) y ( ∂f_(1 ))⁄∂x en [x^3,y^3]〗^T=〖[0.8314,0.4557]〗^T

x4=x3-(f_1 (x3,y3))/(├ (∂f_1)/∂x┤| ■(@x3,y3))=x3-(〖1.6(x3)〗^2-7.8(x3)-2.6(y3)+3.6(x3)(y3)+5.2)/(3.2(x3)+3.6(y3)-7.8)x4=0.8314-(〖1.6(0.8314)〗^2-7.8(0.8314)-2.6(0.4557)+3.6(0.8314)(0.4557)+5.2)/(3.2(0.8314)+3.6(0.4557)-7.8)

x4=0.8314

〖 Para el cálculo de y^4 se necesita evaluar f〗_2 〖 y ( ∂f_(2 ))⁄∂y en [x^4,y^3]〗^T=〖[0.8314,0.4557]〗^T

y4=y3-(f_2 (x4,y3))/(├ (∂f_2)/∂y┤| ■(@x4,y3))=y3-(〖3.1(x4)〗^2-6.2(x4)+6.2(y3)+0.9〖(y3)〗^2)/(1.8(y3)+6.2)

y4=0.4557-(〖3.1(0.8314)〗^2-6.2(0.8314)+6.2(0.4557)+0.9(0.4557)^2)/(1.8(0.4557)+6.2)
y4=0.4557

Calculo...