metodos numericos

Métodos exactos
-Inversión de Matrices
Matrices invertibles
Definición
Se dice que una matriz A cuadrada n * n es una matriz invertible, o que es una matriz no singular, si existe una matriz Bn * n, que llamaremos la matriz inversa de A, que cumple:
A B = I y B A = I (1)
Una matriz invertible solo tiene una inversa, es decir, la inversa es única. La única inversa de una matrizinvertible A se representa por A-1. Así
A A1 = I = A1 A (2)
Como se puede ver 0 C = 0, para cualquier matriz C de dimensiones adecuadas, esto significa que existen matrices cuadradas que no pueden serinvertibles (La matriz cuadrada 0 es una de ellas) este tipo de matrices se llama matriz singular o matriz no invertible.
Motivación del algoritmo de inversión
Veamos un ejemplo que motivarla elalgoritmo para obtener la inversa de una matriz.
Ejemplo
Determine la inversa de

Suponga que buscamos una matriz B, 2 * 2 tal que A B = I2*2:


Así se debe cumplir:
Para elemento (1,1) del producto:1 b11 2 b21 = 1
Para elemento (2,1) del producto: 3 b11 5 b21 = 0
Para elemento (1,2) del producto: 1 b12 2 b22 = 0
Para elemento (2,2) del producto: 3 b12 5 b22 = 1
Esto conduce ados sistemas de ecuaciones: uno en b11 y b21 y otro b21 y b22 con matrices aumentadas que al reducirse quedan:


 Para el cálculo de un Matriz inversa en MATLAB se debe primero:
Crear una matriz deorden n^2 (igual número de filas que de columnas) y luego utilizar la función INV(A) donde A es la matriz posee los valores de la matriz original.
Ejemplo:
>>> A = [1 2 3; 3 2 1; 2 3 1]
A =
1 2 33 2 1
2 3 1
>>> B = inv (A)
B =
-0.0833 0.5833 -0.3333
-0.0833 -0.4167 0.6667
0.4167 0.0833 -0.3333
Donde B es la matriz inversa de A






Inversión de Matrices ParticionadasIntroducción
Este método nos ayuda a encontrar la solución de un sistema de ecuaciones a través de la inversa cuando el sistema tiene un número muy grande de variables, ya que mientras más variables se...