metodos numericos

Métodos Numéricos Curso SAI Tema 3. Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales.

Tema 3
3.

3.1.

Solución de Sistemas
Ecuaciones Lineales

de

Introducción
En la práctica de la ingeniería y ciencias es frecuente tener la necesidad de resolver un sistema
de ecuaciones lineales. Estos sistemas aparecen en muy diversos problemas, ya sea como la
solución completa de un problema ó almenos como parte de ella. Dada esta necesidad
frecuente, se requiere resolverlos en forma eficiente. En tu curso de Complementos de
Matemáticas, te dieron las herramientas básicas, para resolver estos sistemas, así como algunos
métodos de solución. Podrías pensar que con lo que te dieron en esa UEA, es suficiente. Pero
no es así. Te dieron las herramientas básicas, algunos métodos, pero no tedijeron todos los
detalles. Por ejemplo, te mencionaron el hecho de que si un sistema tiene det( A) ≠ 0 ,
entonces tiene solución única y que podrías hallarla con los métodos que te enseñaron. Resulta
que existen sistemas donde a pesar de cumplirse lo anterior, no puedes hallar la solución.1 En
este capitulo veremos un repaso a lo que viste en Complementos de Matemáticas y también losdetalles que no te mencionaron, así como métodos nuevos de solución de sistemas de
ecuaciones lineales.

3.2.

Conceptos Básicos2
Un sistema de ecuaciones lineales es de la forma

a 11 x1

+ a 12 x 2

+ a13 x 3

+•••

+ a1n x n

=

a 21 x1

+ a 22 x 2

+ a 23 x 3

+•••

+ a 2n xn

= b2

+ a n2 x2

+ a n3 x3

+ • • • + a1nn x n

= bn

b1

•
•
•
a 1n x1

1Al menos con las técnicas que te enseñaron.

2

Si ya dominas los conceptos básicos, te sugerimos pasar directamente a los
métodos de solución. Sección 3.3.

Página

3-1

Métodos Numéricos. Curso SAI. 24/7/a 20:56:24 © Hugo Pablo Leyva
ó en forma mas compacta
AX=B
donde
A: matriz de coeficientes.
X: vector solución.
B: vector de términos independientes.

3.2.1. Operacioneselementales
La solución de un sistema de ecuaciones lineales frecuentemente requiere usar las operaciones
elementales de una matriz. Estas son:
1. Intercambio de renglones.
2. Multiplicar un renglón por una constante ≠ 0 .
3. Sumar un renglón a otro, multiplicando el primero por una constante ≠ 0 .

3.2.2. Determinantes
El determinante de una matriz es una función muy usada en el álgebra dematrices. Para el caso
de una matriz de 2x2 se define como

 a 11
det( A) = det 
 a 21

a12 
= a11 a 22 − a 21 a 12
a 22 


En el caso de matrices mayores a 2x2 el determinante de 2x2 se denomina cofactor.
El determinante esta relacionado con las operaciones elementales de la siguiente maneras:
1. Si se intercambian 2 renglones cambia de signo el determinante.
2. Simultiplicamos por una constante ≠ 0 un renglón el determinante se divide entre la misma
constante.
3. Si se suma un renglón a otro, multiplicando el primero por una constante ≠ 0 , el determinante
no es afectado.
Para matrices de orden mayor a 2x2, se pueden usar las propiedades anteriores para calcular el
determinante.

3.2.3. Producto de matrices
3-2

Métodos Numéricos Curso SAI Tema 3. Soluciónde Sistemas de Ecuaciones Lineales.

Consideremos 2 matrices A y B. Para calcular el producto de las mismas, si la matriz A es de
orden mxk, la matriz B de kxn, entonces se obtiene una matriz C de mxn, el producto de
matrices se define como
k

cij = ∑ a il blj , i=1,...,m. j=1,...,n
l =1

Para el caso de una matriz A de mxn por un vector B de tamaño n, se considera que el vector es
unamatriz de nx1. Al multiplicarlos se obtiene una matriz C de mx1, es decir, un vector de
tamaño m. Se tiene
n

ci = ∑ a il bl , i=1,...,m
l =1

3.2.4. Matriz Identidad
La matriz identidad I se define como aquella matriz cuadrada en la cual, la diagonal principal3
esta formada por 1's y el resto por 0's.

1
0

0

•
•

0

0 0 0 • • • 0
1 0 0 • • • 0

0 1 0 • • •...