Metodos Numericos

METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS QUIMICOS CON MATLAB (I)
Francisco Muñoz Paba M.Sc. E-mail: f31paba @ yahoo.com. Departamento de Ingeniería Química, Grupo de Simulación y Control de Procesos. Universidad del Atlántico, Barranquilla, Colombia INTRODUCCION Muchos planteamientos matemáticos sobre situaciones problémicas, en procesos químicos , son de difícil solución analítica y hacen que elingeniero químico tenga que recurrir a los métodos numéricos para encontrar una respuesta a sus casos de estudio. Una necesidad muy frecuente es la de representar un conjunto de datos experimentales tomados en forma discreta ajustados a una expresión analítica que permita de forma mas fácil la estimación de, por ejemplo, valores intermedios, sumatorias o integrales y variaciones o razones de cambioentre ellos. El desarrollo de los métodos numéricos , la certidumbre de sus resultados y la posibilidad de ejecutarlos con la ayuda de códigos por computador hacen de ellos un recurso que ofrece ventajas con respecto a los métodos analíticos. En ésta revisión se presentan algunos métodos de ajuste de datos a ecuaciones con ejemplos a la ingeniería química que se resuelven con los pro cedimientosexplicados y con la ayuda de un computador mediante la construcción de instrucciones cortas codificadas con MATLAB. AJUSTE DE CURVAS PARA FUNCIONES POLINOMICAS. Muchas funciones matemáticas incluyen términos como logarítmicos, exponenciales o trigonométricos que las hacen de un manejo complejo. Una alternativa para afrontar tal dificultad la ofrecen los métodos numéricos permitiendo que una función sepueda expresar por otra equivalente en cuanto a la correspondencia entre la variable independiente y el valor de la función pero mas sencilla y, por lo tanto, de mas fácil manipulación. Lo anterior es lo que se conoce como ajuste de curvas, interpolación o cálculo de la ecuación de una curva. A continuación se muestra el método de ajuste de curvas a un polinomio como una Serie de Potencias omediante procedimiento de interpolación como el de Newton y Lagrange. .
SERIE DE POTENCIAS.

Prácticamente todas las funciones matemáticas se pueden expresar como un polinomio de grado n, es decir, mediante una expresión en serie de potencias. Es más fácil encontrar el valor numérico de una función expandiéndola en una serie de potencia polinomial como la ecuación (1): f ( xi ) = ∑ an x n = a0 + a1xi + a2 xi2 + ...an xin
i =0 n

(1)

y evaluando los coeficientes a0 .. ..an . Las funciones logarítmicas, hiperbólicas y elípticas son casos puntuales.

-1-

Las series de potencias pueden usarse para ajustar un conjunto de datos tomando un número suficiente de términos. El número de términos está dado por el siguiente teorema: Sí las enésimas diferencias divididas de una funcióntabulada son constantes cuando los valores de la variable independiente son tomadas en progresión aritmética, la función es un polinomio de grado n. Ejemplo 1
f ( x) = a0 + a1 x + a2 x 2 + a3 x 3 + a4 x 4

Tabla 2. Diferencias divididas x f(x) 1 5.0000 1.1 5.7852 1.2 6.7632 1.3 7.9712 1.4 9.4512 1.5 11.250

∆ fi ∆fi ∆fi ∆ fi 7.852 9.640 6.200 2.000 9.780 11.50 7.000 2.000 12.08 13.60 7.800 14.8015.94 17.98

[1]

[ 2]

[ 3]

[ 4]

(2)

Tabla 1. Datos de la función Punto 0 1 2 3 4 5 x 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 fx 5.000 5.785 6.763 7.971 9.451 11.25 Elabore una tabla de diferencias divididas determine los coeficientes del polinomio dado por la ecuación (2). Las primeras diferencias divididas mediante los puntos (0), (1) y (1), (2), respectivamente, son:
f [ x0 , x1 ] = f [ x1 , x2] 5.7852 − 5.0000 = 7.8520 1.1 −1.0 6.7632 − 5.7852 = = 9.7800 1.2 −1.1

Debe notarse que todas las diferencias divididas de cuarto orden tienen el mismo valor, independientemente de los argumentos que se usen para su cálculo, por lo tanto , la ecuación(2) se puede escribir en forma de series de potencias como un polinomio de cuarto orden. Para realizar los cálculos de diferencias divididas...