Metodos Numericos

1. Sin realizar el cambio de base, calcule (452)6*(143)6

(4 5 2)6
*(1 4 3)62 2 4 0 3 1 3 2 4 5 2 (1 2 3 2 0 0)6

2. Se aproxima el número π con a = 3,142 y al número e con b= 2,711
Determine una cota para el error absoluto de a b. valor 2 puntos
Solución:
Δ= aΔb+bΔa
Δa= π-3,142=4,07 x 10-4
Δb= e-2,711=7,28 x 10-3

Δab=3,142*7,28*10-3+2,711*4,07*10-4=0,024

3. Considere la ecuación e-2x+2x-1+x2=3x-1, en el intervalo 1,32
Con respecto a ella:
a) Demuestre que tiene al menos una solución en dicho intervalo.
Solución: ordenando la ecuación tenemos:
e-2x+2x-1+x2-3x+1=0
Puesto que la ecuación es continúa en todo su intervalo
Y como f(1)= -0,865
Y f2=-1.036
Y al ser la grafica de la función asociada una curva debe necesariamentetener al menos una solución en el intervalo dado.
b) Obtenga la raíz de la ecuación en dicho intervalo, utilizando el método de bisección con 3 iteraciones.
Solución: para los intervalos 1,32 y 54,32
1,32
Iteraciones | ai | bi | Pi=a+b2 | f(ai) | f(bi) | f(pi) |
1 | 1 | 3/2 | 5/4 | -0,865 | 0,214 | -0,105 |
2 | 1 | 5/4 | 9/8 | -0,865 | -0,105 | -0,297 |
3 | 1 | 9/8 | 17/16 | -0,865| -0,297 | -0,439 |

54,32
Iteraciones | ai | bi | Pi=a+b2 | f(ai) | f(bi) | f(pi) |
1 | 5/4 | 3/2 | 11/8 | -0,105 | 0,214 | 0,054 |
2 | 11/8 | 3/2 | 23/16 | 0,054 | 0,214 | 0,133 |
3 | 11/8 | 23/16 | 45/32 | 0,054 | 0,133 | 0,094439 |

Puesto que para el primer intervalo para P= 1,0625 su imagen es – 0,439
Y para el segundo intervalo para P= 1,40625 su imagen es 0,094439
Estasegunda se aproxima más a cero, por lo que es una muy buena aproximación para la raíz, solución de la ecuación
c) ¿Cuántas iteraciones se deben realizar para obtener un error menor de 10-4 con método de bisección en dicho intervalo?

Solución: pn-p≤ b-a2n 32-12n≤10-4

122n<10-4
1210-4<2n

5000<2n

log5000log2<n

12.29<n

Si tomamos n= 13, obtenemos la aproximación conun error menor a 10-4

d) Obtenga la raíz de la ecuación utilizando el método de newton- Raphson con 3 iteraciones y p0=1.5
f(x)= e-2x+2x-1+x2-3x+1
F(x)= -2e-2x+1x-1+2x-3
iteración | x | f(x) | F(x) | x—f(x)F(x) |
1 | 1.5 | 0.214 | 1.315 | 1.337 |
2 | 1.337 | 0.007 | 1.259 | 1.331 |
3 | 1.331 | -0.001 | 1.261 | 1.330 |

el resultado de la ecuación es aproximadamente 1.331e) Obtenga la raíz de la ecuación utilizando el método de la secante con 3 iteraciones y p0=1.1, p1=1.4
Valor 3 puntos

Solución:
f(x)= e-2x+2x-1+x2-3x+1

xn+1=xn-xn-xn-1fxn-f(xn-1)*f(xn)

n | xn | f(xn) | xn+1 |
0 | 1.1 | -0.357 | |
1 | 1.4 | 0.086 | 1.342 |
2 | 1.342 | 0.013 | 1.332 |
3 | 1.332 | 0.0003 | 1.331 |

Solución de la ecuación es 1.331 aproximadamente.

f)¿Cuál de estos métodos aproximo mejor la raíz de la ecuación? Justifique su respuesta.
Con los métodos de la secante y el de Newton - Raphson obtuve la misma solución para la ecuación, sin embargo a mi parecer sería más conveniente el uso del método de la secante, ya que tiene la ventaja que no es necesario encontrar la derivada de la función para llegar a una solución aproximada.

4. Considerela función fx=(2x-1)13+2x3-5x-2, en el intervalo 1,3. Respecto a esta función.
a. Determine tres posibles funciones alternas asociadas a esta función. Valor 2 puntos.
Solución
: M(x)=(2x-1)13+2x3-25
h(x)=35x+2-(2x-1)132
g(x)=(-2x3+5x+2)3+12

b. Demuestre utilizando la función alterna adecuada, que al menos existe un punto fijo en 1,3

M1=(2*1-1)13+2*13-25=0.2M3=(2*3-1)13+2*33-25=10.74
Es claro que la función M(x) no cumple con los requisitos.

g1=(-2*13+5*1+2)3+12=63
g3=(-2*33+5*3+2)3+12=-25326
Es claro que la función g(x) no cumple con los requisitos
h1=35*1+2-2*1-1132=1.44225
h3=35*3+2-2*3-1132=1.96997
Con lo que queda demostrado que existe al menos un punto fijo en la función.

c. Determine una raíz de la función en dicho intervalo, usando el...