METODOS NUMERICOS

1.1 Importancia de los métodos numéricos.

Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas.

Los métodos numéricos nos vuelven aptos para entender esquemas numéricos a fin de resolver problemas matemáticos, de ingeniería y científicos en una computadora, reducir esquemasnuméricos básicos, escribir programas y resolverlos en una computadora y usar correctamente el software existente para dichos métodos y no solo aumenta nuestra habilidad para el uso de computadoras sino que también amplia la pericia matemática y la comprensi6n de los principios científicos básicos.
El análisis numérico trata de diseñar métodos para “ aproximar” de una manera eficiente las soluciones deproblemas expresados matemáticamente.

El objetivo principal del análisis numérico es encontrar soluciones “aproximadas” a problemas complejos utilizando sólo las operaciones más simples de la aritmética. Se requiere de una secuencia de operaciones algebraicas y lógicas que producen la aproximación al problema matemático.



1.2 Conceptos básicos: cifra significativa, precisión, exactitud,incertidumbre y sesgo.

Cifra significativa:

El concepto de cifra significativa lo podemos definir como aquella que aporta información no ambigua ni superflua acerca de una determinada medida experimental, son cifras significativas de un numero vienen determinadas por su error. Son cifras que ocupan una posición igual o superior al orden o posición de error.

Reglas de operaciones con cifrassignificativas.

Regla 1: los resultados experimentales se expresan con una sola cifra dudosa, e indicando con + - la incertidumbre en la medida.

Regla 2: las cifras significativas se cuentan de izquierda a derecha, a partir del primer dígito diferente de cero y hasta el digito dudoso.

Regla 3: al sumar o restar dos números decimales, el numero de cifras decimales del resultado es igualal de la cantidad con el menor número de ellas.

Regla 4: al multiplicar o dividir dos números, el numero de cifras significativas del resultado es igual al del factor con menos cifras.

1.3 Tipos de errores.

Todos los resultados de la aplicación de métodos numéricos van acompañados de un error que es conveniente estimar.
En muchas ocasiones esto no es posible hacerlo de un modocuantitativo, en otras, en cambio, pueden llevarse a cabo análisis de errores que pueden ser:
· a priori, cuando no se utilizan los resultados en el análisis, que puede llegar a ser muy complejo (recordar, p. ej., las expresiones del error de una simple división basadas en las del cálculo diferencial), y

· a posteriori, cuando se utilizan los propios resultados en el análisis de los errores.

Esconveniente tener presente en todo momento cuáles son las fuentes de los errores, lo que puede ser una ayuda definitiva a la hora de resolver eventuales problemas prácticos, si bien es cierto que éstas actúan siempre juntas, haciendo muy difícil el conocimiento detallado de la contribución de cada una en cada caso.


Fuentes de error

Son tres que dan lugar a una clasificación de los errores deacuerdo con ellas:

· Inherentes.

Asociado a la precisión de los datos de imputa. (P. Ej. El uso de 0.333333 en lugar de 1/3.) Su característica principal es que se propaga al output. Esta propagación puede estudiarse mediante análisis de sensibilidad, que permiten detectar hipersensibilidades de los resultados hacia variables específicas en rangos particulares, de modo que puedantomarse precauciones especiales en esos casos.

Cuando existe una magnificación inaceptable del error se dice que el problema está mal condicionado. Los errores de input son causantes de imprecisión en los resultados.




· Truncamiento.

Asociado a la substitución de procesos infinitos por procesos finitos, tales como el truncamiento de series, el uso se sumas limitadas para el...