metodos numericos

PAUTA DE CORRECCION
PROBLEMA 1:
x2 + 4 = 0 () 2 ln x = x2

1) Tenemos que f (x) = 2 ln x

4, entonces sean

G(x) = 2 ln x y H(x) = x2

4

las abscisas de los puntos de intersección de lasgrá…cas de las curvas y = G(x) e y = H(x) son las
raíses de la ecuación
f (x) = 0

y

6
5
4
3
2
1
0
1

2

3

4

-1

5

x

-2
-3
-4
-5

De la grá…ca observamos:Evaluando f (x) en x = 0 y x = 1, se tiene que
lim f (x) =

x!0

f (1) = 2 ln 1

1+4=
2

1

(1) + 4 = 3

)

=) f (0) f (1) < 0

Evaluando f (x) en x = 2 y x = 3, se tiene que
f (2) = 2 ln2
f (3) = 2 ln 3

2

(2) + 4 = 1: 386 3
2
(3) + 4 = 2: 802 8

=) f (2) f (3) < 0

Por tanto, las raíces reales de esta ecuación están en
[0; 1] ; [2; 3]
x2 + 4 = 0 =) x =

2) Si 2 ln xSea g(x) =

p

p

2 ln x + 4 o x = e

x2 4
2

1
2 ln x + 4 =) g 0 (x) = p
> 0 para todo x 2 [2; 3], es decir f es creciente en el
x 2 ln x + 4

intervalo, luego
g([2; 3])

=[g(2); g(3)]
= [2: 320 8; 2: 489 4]

[2; 3]

Por otra parte
1
1
p
= p
x 2 ln x + 4
x 2 ln x + 4
0:215439316 = K < 1; 8x 2 [2; 3]
p
1
Luego, la sucesión fxn gn=0 , con xn = g(xn 1 ) = 2 lnxn 1 + 4, con n = 1; 2; ::, converge a la raíz.
jg 0 (x)j =

3) Sabemos que

Kn
jx1
1 K

x0 j < 10

3

j

xn j

K
x0
x1

= 0:215439316
= 2
p
=
2 ln 2 + 4 = 2:320839150

dondeluego,
n

(0:215439316)
j2:320839150 2j
1 0:215439316
n
0:408941152 (0:215439316)
n
(0:215439316)
n ln (0:215439316)
n

< 10

3

< 10 3
< 0:002445339
< ln (0:002445339)
ln(0:002445339)
>
= 3:91744203
ln (0:215439316)

Por tanto, con al menos n = 4 iteraciones se logra la precisión requerida. Así
n
0
1
2
3
4

xn
2
2:320839150
2:384084236
2:3953350842:397299785

Es decir, una aproximación a la raíz requerida es:
x4 = 2:397299785
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PROBLEMA 2:
1) Notamos...