Metodos numericos

Uso de los métodos numéricos
Una definición de análisis numérico podría ser el estudio de los errores en los cálculos; error aquí no quiere decir un disparate, equivocación u omisión, sino más bien una discrepancia entre el valor exacto y el calculado, que es consecuencia de la manera con que se manejan los números o fórmulas.
Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posibleformular problemas de tal forma que sean resueltas con operaciones aritméticas, Aunque hay muchos tipos de métodos numéricos todos comparten una característica común, llevan cabo un buen número de tediosos cálculos aritméticos.
Los métodos numéricos nos vuelven aptos para entender esquemas numéricos a fin de resolver problemas matemáticos, de ingeniería y científicos en una computadora, reduciresquemas numéricos básicos, escribir programas y resolverlos en una computadora y usar correctamente el software existente para dichos métodos y no solo aumenta nuestra habilidad para el uso de computadoras sino que también amplia la pericia matemática y la comprensi6n de los principios científicos básicos.
Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formularproblemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas.
El análisis numérico trata de diseñar métodos para "aproximar" de una manera eficiente las soluciones de problemas expresados matemáticamente.
El objetivo principal del análisis numérico es encontrar soluciones "aproximadas" a problemas complejos utilizando sólo las operaciones más simples de la aritmética. Se requiere de unasecuencia de operaciones algebraicas y lógicas que producen la aproximación al problema matemático.

Errores numéricos y prolongaciones
Tipos de error
Sea x el valor resultante de un procedimiento matemático y xe su aproximación.
La diferencia entre x y xe se explica básicamente por dos razones:
Tenemos un error de truncamiento por aplicar un procedimiento matemático aproximado (por ejemplousar la serie de Taylor de orden finito en vez de usar los infinitos términos de la suma para una función que es infinitas veces diferenciable)
Obtenemos un error de redondeo porque no podemos representar el número con todos sus cifras significativas (por ejemplo usamos πe = 3,14 en vez del número π que tiene infinitas decimales).
Error verdadero
Contemplando todos los posibles errores, la relaciónentre el resultado exacto y el aproximado es:
Valor verdadero = aproximación + error
Reordenando obtenemos:
Ev = valor verdadero − aproximación = x − xe
Donde Ev se usa para denotar el valor exacto del error, el “error verdadero”
Error verdadero: dependencia de la escala
Una debilidad de está definición es que la magnitud del error verdadero depende de la escala que usamos. Por ejemplopodemos medir una barra en centímetros o en metros. Si la longitud exacta de la barra es 1 m y por la medición obtenemos 99 cm, obtenemos un valor verdadero
Ev = 100/ 99 = 1, si usamos centímetros
Ev = 1,00 /0,99 = 0,01, si usamos metros.
Esto es la razón porque se define un error relativo.
Error relativo verdadero (fraccional)
Error relativo fraccional verdadero = error verdadero
Valor verdaderoes decir, normalizamos el error.
En el ejemplo de la barra obtenemos:
Error relativo fraccional = 1/100 (si usamos centimetros) = 0,1/1(si usamos metros),
Sea: Esta representación del error es independiente de la escala.
Error relativo verdadero (porcentual)
Multiplicando por 100 %, obtenemos el error relativo porcentual verdadero ev:
e0rror verdadero
ev= -------------------------100 %.
Valor verdadero
Estimación de errores propagación
Si los datos que se manejan tienen errores, ya sea a nivel de máquina por redondeo o el proceso de medición, estos errores se propagan a manipular los datos. Si se tiene conocimiento sobre el tamaño del error en los datos iníciales, se puede estimar el error en los datos manipulados.

La exactitud y precisión

La exactitud se...