metodos numericos

1. Calcule con Newton Raphson la raíz de la función.
f(x) = x2 – 5. Tolerancia = 0.05%

Xn = (2 + 3) / 2 = 2.5
f(x) = x2 – 5
f’(x) = 2x
Xn+1 = Xn – (f(x)/f’(x))
Error = ((Xn+1 act. - Xn+1 ant.) / Xn+1 act.) * 100%

I
Xi
f(Xi)
f’(Xi)
f(Xi)/f’(Xi)
Xn + 1
Error
1
2.5
1.25
5
0.25
2.25
100%
2
2.25
0.0625
4.5
0.01389
2.2361
0.62%
3
2.2361
1.4321x10-4
4.47223.2022x10-5
2.2361
0%
L a raíz es x = 2.2361, con error se 0%.


f(x) = ln(x) – e-3x, X1 = 2, tolerancia = 1%, Nmax = 5
f(x) = ln(x) –e-3x
f’(x) = (1/x) + 3(e-3x)

I
Xi
f(Xi)
f’(Xi)
f(Xi)/f’(Xi)
Xn + 1
Error
1
2
0.6907
0.5074
1.3613
0.6387
100%
2
0.6387
-0.5955
2.0072
-0.2967
0.9354
31.72%
3
0.9354
-0.1272
1.2504
-0.1017
1.0371
9.8%
4
1.0371
-8.1147x10-3
1.0979-7.3914x10-3
1.045
0.76%
La raíz es x = 1.045, con un error de 0.76%.



2. Una partícula se mueve con una velocidad (en metros/segundos) dada la función del tiempo por medio de la función V(t) = t3 - 2t2 ; V = 1






int.[2 , 3]; t1 = 0 ; t2 = 1

1 = t3 - 2t2
f(t) = t3 - 2t2 – 1


a) Bisección
I
t1
t2
tm
f(t1)
f(t2)
f(tm)
f(t1)*f(tm)
Error
1
2
3
2.5
-1
82.125
-
100%
2
2
2.5
2.25
-1
2.125
0.2656
-
11.11%
3
2
2.25
2.125
-1
0.2656
-0.4355
+
5.88%
4
2.125
2.25
2.1875
-0.4355
0.2656
-0.1029
+
2.94%
5
2.1875
2.25
2.2188
-0.1029
0.2656
0.07717
-
1.41%
6
2.1875
2.2188
2.20315
-0.1029
0.07717
-0.01394
+
0.71%
El tiempo para que v = 1, es t = 2.20315; con error de 0.71%.

b) Regla falsa modificada


I
t1t2
t3
f(t1)
f(t2)
f(t3)
f(t1)* f(t3)
Save
Error
1
2
3
2.1111
-1
8
-0.5049
+
-1
100%
2
2.1111
3
2.2107
-0.5049
4
0.02973
-
-0.5049
4.5%
3
2.1111
2.2107
2.20516
-0.5049
0.02973
-2.36x10-3
+
0.02973
0.25%
El tiempo para que v = 1, es t = 2.20516; con error de 0.25%.

c) Newton Raphson
tn = (2 + 3) / 2 = 2.5
f(t) = t3 - 2t2 – 1
f’(t) = 3t2 –4t
tn+1 = tn – (f(t)/f´(t))
Error = (tn+1 act. - tn+1 ant.) / tn+1 act.

I
ti
f(ti)
f’(ti)
f(ti)/f’(ti)
tn + 1
Error
1
2.5
2.125
8.75
0.2429
2.2571
100%
2
2.2571
0.3098
6.2551
0.04953
2.2076
2.24%
3
2.2076
0.01174
5.79
2.0276x10-3
2.2056
0.09%
El tiempo para que v = 1, es t = 2.2056; con error de 0.09%.





3. El movimiento de una estructura se definemediante la siguiente ecuación para una oscilación amortiguada.


Donde K= 0.5 y w= 2. Aplique método gráfico para encontrar el intervalo que permita determinar el tiempo necesario para que el desplazamiento disminuya hasta 4. Aplique
a) Newton Raphson, b) Bisección. Trabaje considerando Es= 1% o hasta 5 cinco iteraciones.

Buscando el intervalo donde está mi primera Xn,
x
0
10
f(x)
1-2.52
Entonces, como 4 está en este intervalo Xn=0.5
Escribo mi ecuación
f(x) = 10cost - 4
f’(x) = -5cos2t – 20sen2t
I
Xn
f(Xn)
f’(Xn)
f(Xn)/f’(Xn)
Xn+1
Error
1
0.5
0.2079
-15.21
-0.01367
0.5137
----
2
0.5137
-0.00073
-15.24
0.000048
0.5138
0.02%

b) Bisección
I
X1
X1
Xm
f(X1)
f(X2)
f(Xm)
f(X1)* f(Xm)
Error
1
0
1
0.5
6
-6.52
0.2079
+
------
2
0.5
10.75
0.2079
-6.52
-3.5138
-
33.33%
3
0.5
0.75
0.625
0.2079
-3.5138
-1.8207
-
20%
4
0.5
0.625
0.5625
0.2079
-1.8207
-0.7453
-
11.09%
5
0.5
0.5625
0.5313
0.2079
-0.7453
-0.2692
-
5.87%
6
0.5
0.5313
0.51565
0.2079
-0.2692
-0.03045
-
3.035%
7
0.5
0.51565
0.5078
0.2079
-0.03045
0.0892
+
1.157%
8
0.5078
0.51565
0.5117
0.0892
-0.03045
0.02975
+0.767%


5. Al tratar de encontrar la acidez de una solución de hidróxido de magnesio en ácido clorhídrico se obtiene la ecuación:


donde x es la concentración del ion de hidrógeno. Calcule la concentración del ion de hidrógeno para una solución saturada (cuando la acidez es igual a cero) por doble división sintética. Muestre el cuadro de raíces, identifique las posibles raíces de...