Metodos Numericos

Contenido

2.2 Método de bisección 3
2.3 Métodos de aproximaciones sucesivas 4
2.4 Métodos de interpolación 5
2.5 aplicaciones 5
Bibliografía 7

UNIDAD 2 MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE ECUACIONES
2.1 métodos de intervalo
Los métodos de los intervalos utilizan una propiedad muy importante, consistente en el hecho del cambio de signo de una función en inmediaciones de una raíz.Se llaman métodos de los intervalos porque se necesitan como mínimo dos valores que forman un intervalo que encierra la raíz.

En la gráfica 2.1 se observa como la función cambia de +f(x) a - f(x), cuando pasa por la raíz c .Esto ocurre porque f (c)= 0 y necesariamente la función pasa del cuadrante positivo al negativo de x. En algunos casos, que se verán más adelante esto no ocurreasí, por ahora se asumirá como se ha mostrado. Los métodos abiertos utilizan estos cambios de signo para poder ubicar en la raíz (punto c), pero es necesario entonces establecer un intervalo (como el [a,b]).
De igual manera sucede cuando la función pasa por el punto e, el cambio ocurre de -f(x) a + f(x), para hallar la raíz el método necesita un intervalo como el [d,f].

2.2Método de bisección
El Método de Bisección, conocido también como de corte binario, de partición en dos intervalos iguales o método de Bolzano, es un método de búsqueda incremental donde el intervalo se divide siempre en dos. Si la función cambia de signo sobre un intervalo, se evalúa el valor de la función en el punto medio. La posición de la raíz se determina situándola en el punto medio delsubintervalo dentro del cual ocurre un cambió de signo. El proceso se repite hasta obtener una mejor aproximación.
Enseguida se muestra el algoritmo para el Método de Bisección y el programa realizado en Matlab.

Algoritmo:
Paso 1: Escójanse los valores iniciales xl y xu de forma tal que la función cambie de signo sobre el intervalo. Esto se puede verificar asegurándose de que f(xl)f(xu) < 0.Paso 2: La primera aproximación a la raíz xr se determina como:

Paso 3: Realice las siguientes ecuaciones y determínese en que subintervalo cae la raíz:
a. si f(xl)f(xr)<0, entonces la raíz se encuentra dentro del primer subintervalo. Por lo tanto, resuélvase xu=xr y continúe en el paso 4.
b. si f(xl)f(xr)>0, entonces la raíz se encuentra dentro del segundo subintervalo. Por lo tanto,resuélvase xl=xr, y continúe en el paso 4.
c. si f(xl)f(xr)=0, entonces la raíz es igual a xr y se terminan los cálculos.
Paso 4: Calcúlese una nueva aproximación a la raíz mediante:

Paso 5: Decídase si la nueva aproximación están exacta como se desea. Si es así, entonces los cálculos terminan, de otra manera se regresa al paso 3. 
2.3 Métodos de aproximaciones sucesivas
Este método consisteen sustituir a la variable X0 , un valor aproximado a la raíz en el segundo miembro de la ecuación X1= F(X0), con el cual obtendremos a X1 que será el nuevo valor aproximado de la raíz mismo que será sustituido en el segundo miembro de la ecuación con el cual obtendremos a X2 = F(X1), y así sucesivamente hasta encontrar hasta encontrar el valor de la raíz o llegar a la enésimaaproximación donde Xn = F ( X n - 1).
Si a medida que (n) crece, X0 tiende a obtener el valor de la raíz y se dice que el método converge de lo contrario que el método diverge.
Dada la ecuación f(x) = 0, el método de las aproximaciones sucesivas reemplaza esta ecuación por una equivalente, x=g(x), definida en la forma g(x)=f(x)+x. Para encontrar la solución, partimos de un valor inicial x0 ycalculamos una nueva aproximación x1=g(x0). Reemplazamos el nuevo valor obtenido y repetimos el

Proceso. Esto da lugar a una sucesión de valores , que si converge, tendrá como límite la solución del problema. 
2.4 Métodos de interpolación
Método de interpolación es un método científico lógico que consiste en determinar cada una de las variables en las formas en las que se pueden reproducir y cómo...