metodos numericos

Reygadas Reygadas Rodrigo
Análisis numérico.

Representación gráfica de los siguientes métodos.

Aproximaciones sucesivas:
Dada la ecuación f(x) = 0, el método de las aproximaciones sucesivasreemplaza
esta ecuación por una equivalente, x=g(x), definida en la forma g(x)=f(x)+x. Para
encontrar la solución, partimos de un valor inicial x0 y calculamos una nueva
aproximación x1=g(x0).Reemplazamos el nuevo valor obtenido y repetimos el
proceso. Esto da lugar a una sucesión de valores
converge, tendrá como límite la solución del problema.

, que si

Figura: Interpretacióngeométrica del
método de las aproximaciones
sucesivas.
Punto fijo:
Si g es una función continua en [a, b] y g(x) ε[a, b] para todo x ε[a, b], entonces g
tiene por lo menos un punto fijo en [a, b]. Siademás, g’(x) existe para todo x ε[a,
b], y |g’(x)| ≤ K < 1 para todo x ε[a, b], K constante, entonces g tiene un único
punto fijo x ε[a, b]. La sucesión {xn}, con n definida, se encuentra mediante lafórmula de iteración:

El comportamiento de los esquemas de punto fijo puede variar ampliamente desde
la divergencia, lenta convergencia, a la rápida convergencia.
La vía más simple (aunque no másgeneral) de caracterizar el comportamiento de
la iteración de punto fijo es considerar la derivada de g en la solución x*.
Si x* = g(x*) y |g’(x*)| < 1, entonces el esquema es localmente convergente.Es
decir, existe un intervalo conteniendo x* tal que el correspondiente esquema
iterativo es convergente si comienza dentro del intervalo

Newthon-rapshon:

El método de Newton-Rapshon sededuce a partir de esta interpretación
geométrica.

Método de la secante:
El principal inconveniente del método de Newton estriba en que requiere conocer
el valor de la primera derivada de la funciónen el punto. Sin embargo, la forma
funcional de f(x) dificulta en ocasiones el cálculo de la derivada. En estos casos es
más útil emplear el método de la secante.
El método de la secante...