Metodos Numericos

Capítulo 5

INTERPOLACIÓN Y AJUSTE DE CURVAS

5.1 Introducción

Las observaciones y los experimentos científicos se registran, en forma tabular, como puntos discretos; de igual manera ocurre con los resultados de cálculos numéricos para una función. Estos puntos, extendidos a lo largo de la variable independiente, conducen a gráficas como la mostrada en figura 5.1. Los valores de la funciónf(x) pueden estar espaciados en forma constante o no, a lo largo del eje horizontal. En este capítulo se discutirán los métodos y técnicas para estimar el valor de la función f(x) entre puntos tabulados; es decir, se interpolarán valores de la función f(x) no conocidos, a partir de un grupo de datos obtenidos de una investigación o experimento. La interpolación puede ser lineal ó polinomial; laprimera de ellas, se aplica para dos puntos consecutivos siempre y cuando, la gráfica de los puntos dados describan aproximadamente una línea recta; sin embargo, la interpolación polinomial es aplicada para los puntos cuya gráfica no describe una recta.

5.2 Interpolación lineal

Cuando se aplica esta interpolación, se asume que los puntos consecutivos, de coordenadas (xi, yi) y (xi+1, yi+1)se unen con una recta, como se muestra en figura 5.2. Estos puntos consecutivos, son dos cualesquiera de la información dada u obtenida, entre los cuales está el punto no conocido.

Fig. 5.2 Representación gráfica de interpolación lineal


Con base en la figura anterior y de acuerdo con la geometría elemental, el valor de f(x) puede obtenerse con ecuación de una recta.

(5-1)donde f(x) es el valor de la función para cualquier valor de x que se encuentre entre xi y xi+1.

Ejempo 5.1 Dados los siguientes datos, obtenga el valor de f(x) x = 2.9
x | –1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
f(x) | 7 | 4.98 | 3.01 | 1 | -1 | -3 | -4.89 | -7 |

Solución. La gráfica muestra que es correcto aplicar interpolación lineal, ya que, los datos se ajustan a una línea recta.

Paraaplicar ecuación (5-1), se tiene que xi = 2, con f(xi) = 1 y xi+1 = 3, con f(xi+1) = -1; entonces:



5.3 Interpolación polinomial

La interpolación polinomial se usa cuando al graficar, la base de datos, los puntos no se pueden ajustar a una recta, como ya se dijo antes. Es claro que para la figura 5.1, este tipo de interpolación sería el más apropiado, ya que, la función f(x) describe unacurva. Una función de interpolación es aquella que pasa a través de puntos dados como datos, los cuales se muestran comúnmente como una tabla de valores o se toman directamente de una función dada.

La interpolación de los datos puede hacerse mediante un polinomio algebraico, las funciones spline, una función racional o las series de Fourier, entre otras posibles formas. La interpolaciónpolinomial es uno de los temas más importantes en métodos numéricos, ya que la mayoría de los demás modelos numéricos se basan en esa forma de interpolación. Por ejemplo, los modelos de integración numérica se obtienen integrando fórmulas de interpolación polinomial y, los modelos de diferenciación numérica se obtienen derivando las interpolaciones polinomiales.

Los datos obtenidos mediante unamedición pueden interpolarse, pero en la mayoría de los casos no es posible una interpolación directa debido a los errores aleatorios implicados en la propia medición. Así pues, el ajuste de una curva a los datos obtenidos de esta forma, se describe un la segunda sección de este capítulo.

5.3.1 Interpolación de Lagrange

En algunas ocasiones los datos obtenidos no contienen un cambio constante en lavariable independiente, ya que muchas de las veces no es posible recabar la información de esa manera. Si además, los valores puntuales no se agrupan en una recta (Fig. 5.1), con mayor razón la interpolación lineal no es la más apropiada. En este caso se debe usar una interpolación polinomial, a la cual corresponde la fórmula de Lagrange.

Considere una serie de puntos de coordenadas [xi,...