metodos numericos

Métodos Numéricos para Ingenieros

Ing. Yerson Rodríguez

Sistemas de Ecuaciones Lineales
En la unidad dos hemos usado métodos numéricos para determinar el valor de x que satisface a una
ecuación, f(x)=0. Ahora, determinaremos los valores de un conjunto de incógnitas que satisfacen un
sistema de ecuaciones. Por lo tanto, el objetivo de esta Unidad es introducir al estudiante en losconceptos básicos del cálculo matricial. Al final de la Unidad, el estudiante será capaz de hacer
operaciones básicas sobre las matrices (inversión, determinante, descomposición LU) y de resolver
sistemas de ecuaciones lineales por métodos directos e iterativos, sabiendo seleccionar la herramienta
adecuada en el momento adecuado. El estudiante será igualmente capaz de diagnosticar la calidad de
lasolución obtenida.
Como es bien sabido, el cálculo matricial está ligado a numerosos problemas de ingeniería y sirve de
herramienta en la solución de muchos otros métodos numéricos. Por ejemplo, en el planteamiento de
las ecuaciones de conservación de la masa y de conservación de la energía, se escriben relaciones
lineales, que permiten obtener la cantidad de materia que circula en cada una delas corrientes de una
planta. En la solución de ciertos problemas de fenómenos de transporte, la transformación de
ecuaciones diferenciales o en derivadas parciales se obtiene a través de una escritura lineal en donde
aparecen matrices banda. El carácter tan general de los sistemas lineales hace necesaria su
presentación.
La solución de los sistemas lineales se muestra haciendo énfasis sobrela selección del tipo de método
en función del tipo de matriz.

Unidad III

P-01

Métodos Numéricos para Ingenieros

Ing. Yerson Rodríguez

Sistemas de Ecuaciones Lineales - Definiciones y Terminología
Una matriz consiste en un arreglo rectangular de elementos representado por un solo símbolo. Tal
como se observa más abajo [A] es la notación corta para la matriz y aij designa unelemento individual
de la matriz. Un conjunto horizontal de elementos es llamado renglón o fila; y uno vertical, columna. El
primer subíndice i siempre designa el número del renglón en el cual está el elemento. El segundo
subíndice j designa la columna. La matriz podrá ser representada por las formas siguientes:
 a11 a12 a13 L a1m 


 a 21 a 22 a 23 L a 2 m 

A = [ A] = {aij } = a31 a32a33 L a3m 


 M
M
M O M 


 a n1 a n 2 a n3 L a nm 

La matriz A se llama de dimensión (u orden) nxm. La suma de
dos matrices de orden nxm, se define por la relación C=A+B
en donde cada uno de los términos se obtiene por cij=aij + bij.
La matriz E (de orden nxp) resultante del producto de la matriz
A (de orden nxm) y de la matriz B (de orden mxp) se obtiene
m
mediante larelación:
e ij = ∑ a ik b kj
k =1

Cabe señalar que la suma de dos matrices es conmutativa, A+B=B+A, mientras que el producto es
distributivo con respecto a la adición C(A+B)=CA+CB. El producto no es conmutativo, es decir
AB≠
≠BA.
Una matriz cuyo número de columnas y de líneas es el mismo, es una matriz
cuadrada. La diagonal de una matriz es el conjunto de elementos tales que el
índicede la línea es igual al índice de la columna (o sea todos los coeficientes
aij). La matriz nula está constituida exclusivamente de elementos nulos.
La matriz unitaria (o identidad), I, contiene 1 en la diagonal y 0 en las demás
posiciones.
Unidad III

1

0
I = 0

 M
0


0

0
0 1 L 0

M M O M 
0 0 L 1 

0 0 L
1 0 L

P-02

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Sistemas de Ecuaciones Lineales - Definiciones y Terminología
La matriz transpuesta, AT, de una matriz nxm es una matriz de orden mxn en donde todas las filas
han sido intercambiadas entre sí.
Una matriz de dimensión nx1 se llama vector columna. La transpuesta del vector columna es una
matriz de dimensión 1xn, llamada también vector fila. Ciertas formas de...