Metodos Numericos

´ ESCUELA POLITECNICA DEL ´ EJERCITO CARRERA DE INGENIER´ IA ´ MECANICA

´ ´ METODOS NUMERICOS ´ ´ “DERIVACION NUMERICA” ACOSTA SEBASTIAN LANAS JUAN MORA ESTEBAN
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M´todos Num´ricos e e DERIVACION NUMERICA

Derivaci´n N´merica o u

Las formulas de derivaci´n num´rica son importantes en el desarrollo de algoritmos o e para resolver problemas de contorno de ecuaciones diferencialesordinarias y en ecuaciones en derivadas parciales.

De inmediato se calculan las derivadas de funciones elementales en un punto en particular o en uno gen´rico. Con estas ultimas se obtienen las funciones derivadas y tambi´n e ´ e se deducen las reglas de derivaci´n aplicables a una enorme familia de funciones y/o como binaciones de las mismas.

En general, aplicando sistem´ticamente esas reglas,cualquier funci´n o combinaci´n a o o de funciones pude derivarse. Hasta la m´s compleja y sin ninguna aplicaci´n posible en a o problemas de ingenier´ ıa.

Sin embargo, hay otra clase de problemas donde estas reglas no pueden aplicarse. Por ejemplo: Una funci´n definida por un gr´fico, tal vez obtenida de un registrador autom´tico. o a a Formulaci´n mediante diferencias finitas o Por definici´n laderivada de una funci´n f (x) es: o o f ′ (x) = limh→0 f (x + h) − f (x) h

DIFERENCIAS CENTRALES Son f´rmulas de aproximaci´n a f (Xo ) que requieren que la funci´n se pueda evaluar o o o en abscisas situadas sim´tricamente a ambos lados del punto Xo donde se desea hallar la e derivada f (x0 + h) − f (x0 − h) 2h f (x0 + h) − 3f (x0 ) + f (x0 − h) f ′′ (x0 ) ≈ h2 f ′ (x0 ) ≈

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δηµζM´todos Num´ricos e e

Derivaci´n N´merica o u

F´rmulas de Derivaci´n Centradas de orden O(h2 ) o o f ′ (x0 ) ≈ f ′′ (x0 ) ≈
f1 −f−1 2h f1 −2f0 +f−1 h2 f2 −f1 +2f−1 −f−2 2h3 f2 −4f 1+6f0 −4f−1 +f−2 h4

f (3) (x0 ) ≈ f (4) (x0 ) ≈

fk = (x0 + xh);

k = −2, −1, 0, 1, 2

F´rmulas de Derivaci´n Centradas de orden O(h4 ) o o f ′ (x0 ) ≈ f ′′ (x0 ) ≈
−f2 +8f1 −8f−1 +f−2 12h −f2 +16f1 −30f0+8f−1 −f−2 12h2 −f3 +8f2 −13f1 +13f−1 −8f−2 +f−3 8h3 −f3 +12f2 −39f1 +56f0 −39f−1 +12f−2 −f−3 6h4

f (3) (x0 ) ≈ f (4) (x0 ) ≈

fk = (x0 + xh);

k = −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3

Las f´rmulas que utilizan abscisas equiespaciadas que est´n todas a derecha o a izquierda o a de Xo se llaman f´rmulas de diferenciaci´n adelantadas o atrasadas. o o

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δηµζ

M´todos Num´ricos e e

Derivaci´nN´merica o u

DIFERENCIAS HACIA ADELANTE f (x0 + h) − f (x0 ) h

f ′ (x0 ) ≈

F´rmulas de Derivaci´n Adelantadas de orden O(h2 ) o o f ′ (x0 ) ≈ f ′′ (x0 ) ≈
−3f0 +4f1 −f2 2h 2f0 −5f1 +4f2 −f3 h2 −5f0 +18f1 −24f2 +14f3 −3f4 2h3 3f0 +14f1 +26f2 −24f3 +11f4 −2f5 h4

f (3) (x0 ) ≈ f (4) (x0 ) ≈

fk = (x0 + xh);

k = 0, 1, 2, 3, 4, 5

4

δηµζ

M´todos Num´ricos e e ´ DIFERENCIAS HACIAATRAS f (x0 ) − f (x0 − h) h

Derivaci´n N´merica o u

f ′ (x0 ) ≈

La aproximaci´n de la derivada por este m´todo entrega resultados aceptables con un o e determinado error. Para minimizar los errores se estima que el promedio de ambas entrega la mejor aproximaci´n num´rica al problema dado: o e

F´rmulas de Derivaci´n Adelantadas de orden O(h2 ) o o f ′ (x0 ) ≈ f ′′ (x0 ) ≈
3f0 −4f−1 +f−22h 2f0 −5f−1 +4f−2 −f−3 h2 5f0 −18f−1 +24f−2 −14f−3 +3f−4 2h3 3f0 −14f−1 +26f−2 −24f−3 +11f−4 −2f−5 h4

f (3) (x0 ) ≈ f (4) (x0 ) ≈

fk = (x0 + xh);

k = −5, −4, −3, −2, −1, 0

5

δηµζ

M´todos Num´ricos e e

Derivaci´n N´merica o u

EJEMPLO: ´ Usense aproximaciones de diferencias finitas hacia adelante y hacia atr´s de 0(h) y cena 2 tradas, de 0(h ), para estimular la primeraderivada de: f (x) = −0, 1x4 − 0, 15x3 − 0, 5x2 − 0, 25x + 12 en x = 0, 5 usando un tama˜o de paso h = 0,5. Repetir los c´lculos usando h = 0,25. n a N´tese que la derivada se puede calcular directamente como: o f ′ (x) = −0, 4x3 − 0, 45x2 − 1x − 0, 25 y se puede usar para calcular el valor exacto de f ′ (0,5) = −0,9125. Soluci´n o Para h = 0,5, se puede usar la funci´n para determinar: o xi−1...