Metodos numericos

INDICE
INTRODUCCION PAG. 2
OBJETIVOS PAG. 3
DESCRIPCION TEORICA PAG. 4
SOLUCION Y RESULTADOS PAG. 8
CONCLUSIONES PAG. 14
BIBLIOGRAFIA PAG. 15

INTRODUCCION
Los algoritmos que se utilizan para la solución de problemas por método numéricos se tiene como resultado una aproximación de la solución real para una visualización del comportamiento en su aplicación,esto comparando matemáticamente con el valor real demuestra una serie de resultados con mínimos errores en la resolución de ecuaciones diferenciales de primero, segundo, tercer y cuarto orden.
Pocas ecuaciones diferenciales tienen una solución analítica sencilla, la mayor parte de las veces es necesario realizar aproximaciones, estudiar el comportamiento del sistema bajo ciertas condiciones. Así,en un sistema tan simple como un péndulo, la amplitud de la oscilación ha de ser pequeña y el rozamiento ha de ser despreciable, para obtener una solución sencilla que describa aproximadamente su movimiento periódico.
Las páginas que vienen a continuación, se dedicarán al estudio de la resolución de ecuaciones diferenciales por el procedimiento de Runge-Kutta que se aplica de forma directa a unaecuación diferencial de primer orden, pero veremos como se extienden a un sistema de ecuaciones de primer orden, a un ecuación diferencial de segundo orden, y a un sistema de ecuaciones diferenciales de segundo orden.
Seguiremos el modelo adoptado para codificar el procedimiento para hallar las raíces de una ecuación trascendente y para hallar la integral definida de una función. Crearemos unaclase base abstracta con una función miembro que describe el procedimiento numérico, y una clase derivada que describirá el sistema físico particular. Para determinar el estado final de un sistema físico, cuyo comportamiento está descrito por una ecuación diferencial, se creará un objeto de la clase derivada, y desde éste llamaremos a la función que describe el procedimiento numérico, pasándole enuno de sus parámetros el objeto que describe el estado inicial, devolviendo en el mismo objeto el estado final cuando dicha función retorna.

OBJETIVOS
* Desarrollar un sistema de solución por medio de método Numérico Runge-Kutta.

* Aproximar las soluciones del problema a partir de la observación en el simulador, de las curvas de nivel de la función principal y la curva correspondientea la función condicionante.

* Implementar los métodos numéricos de forma alternativa en la solución de ecuaciones diferenciales y determinar errores en el comportamiento de la solución

* Adquirir habilidad en la resolución de problemas de optimización en un ambiente computacional.

METODO DE RUNGE-KUTTA

El método de Runge-Kutta es un método genérico de resolución numérica deecuaciones diferenciales. Este conjunto de métodos fue inicialmente desarrollado alrededor del año 1900 por los matemáticos C. Runge y M. W. Kutta.
Se trata de un método por etapas que tiene la siguiente expresión genérica:

,
donde:
i = 1,...,e

con aij,bi,ci constantes propias del esquema numérico. Los esquemas Runge-Kutta pueden ser explícitos o implícitos dependiendo de las constantes aijdel esquema. Si esta matriz es triangular inferior con todos los elementos de la diagonal principal iguales a cero; es decir, aij = 0 para j = i,...,e, los esquemas son explícitos.

El clásico método Runge-Kutta de cuarto orden

Un miembro de la familia de los métodos Runge-Kutta es usado tan comúnmente que a menudo es referenciado como “RK4” o como “el método Runge-Kutta”.
Definamos unproblema de valor inicial como:

Entonces el método RK4 para este problema está dado por la siguiente ecuación:

Donde

Así, el siguiente valor (yn+1) es determinado por el presente valor (yn) mas el producto del tamaño del intervalo (h) por una pendiente estimada. La pendiente es un promedio ponderado de pendientes:
k1 es la pendiente al principio del intervalo;
k2 es la pendiente en el...