Metodos Numericos

Métodos numéricos para la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO).

Método de Euler.
El método de Euler o de las tangentes constituye el ejemplo más simple para la resolución de unproblema de valor inicial.
y'=fx,y, yx0=y0
Donde suponemos que existe una única solución para el problema. Interpretando la e.d.o. y'=fx,y como un campo de direcciones en el plano x – yy la condición inicial yx0=y0 como un punto x0,y0 de dicho plano podemos aproximar la función solución y(x) por medio de la recta tangente a la misma que pasa por ese punto:
yx≅y0+fx0,y0x-x0
Dondese ha utilizado que la pendiente de dicha tangente es: m=y'(x0) y, en consecuencia: m=f(x0,y0)
Calculamos así de manera aproximada el valor de la solución y en el punto de abscisa x1como:yx1≅y1=y0+fx0,y0x1-x0
Y con este punto (aproximado) ya calculado, podemos repetir el método para obtener otro punto aproximado x2,y2 de la forma:
yx2≅y2=y1+fx1,y1x2-x1
Y así sucesivamente.
Es habitual en estemétodo tomar abscisas equiespaciadas, es decir, calcular la solución aproximada en puntos de la forma: xn=xn-1+h=x0+nh, siendo h el paso del método. De esta forma se obtienen las fórmulas que nosdeterminan la solución aproximada en la forma.
xn=xn-1+h; yn=yn-1+fxn-1,yn-1h
Desde el punto de vista geométrico, tenemos en definitiva que el Método de Euler aproxima a la función soluciónpor medio de una línea poligonal, la aproximación será tanto peor cuanto mayor sea en número de pasos, es decir, cuanto más “lejos" nos encontremos del punto inicial (x0,y0). Por otro lado, el errorserá evidentemente tanto mayor cuanto más grande sea el “paso" del método, h.

Métodos de Runge-Kutta
La idea general de los métodos de Runge-Kutta es sustituir el problema de valor inicial:y'=fx,yyx0=y0

Por la ecuación integral equivalente:

y0ydy=x0xfx,yxdx →y=y0+x0xfx,yxdx

Para proceder a aproximar esta última integral mediante un método numérico adecuado (recordemos que y(x) es...