Metodos Numericos


INTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE ACUÑA

METODOS NUMERICOS

ING. JUAN FRANCISCO ARGUIJO

UNIDAD 6: SOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES
6.1: METODOS DE UN PASO
6.2: METODOS DE PASOS MULTIPLES
6.3:SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
6.4: APLICACIONES.

MARIA DE LOS ANGELES GARCIA ROMERO

6.1: METODOS DE UN PASO
En matemática y computación, el método de Euler, llamado así en honorde Leonard Euler, es un procedimiento de integración numérica para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias a partir de un valor inicial dado.
El método de Euler es el más simple de los métodosnuméricos resolver un problema del siguiente tipo:

Consiste en multiplicar los intervalos que va de  a  en  subintervalos de ancho; ósea:

De manera que se obtiene un conjunto discreto de  puntos:  delintervalo de interés. Para cualquiera de estos puntos se cumple que:

 .
La condición inicial, representa el punto  por donde pasa la curva solución de la ecuación del planteamiento inicial, la cual sedenotará como.
Ya teniendo el punto  se puede evaluar la primera derivada de  en ese punto; por lo tanto:





Grafica A.
Con esta información se traza una recta, aquella que pasa por  y de pendiente.Esta recta aproxima  en una vecindad de. Tómese la recta como reemplazo de  y localícese en ella (la recta) el valor de y correspondiente a. Entonces, podemos deducir según la Gráfica A:



Se resuelvepara:

Es evidente que la ordenada  calculada de esta manera no es igual a, pues existe un pequeño error. Sin embargo, el valor  sirve para que se aproxime  en el punto  y repetir el procedimientoanterior a fin de generar la sucesión de aproximaciones siguiente:

Método de Euler Mejorado
Este método se basa en la misma idea del método anterior, pero hace un refinamiento en la aproximación,tomando un promedio entre ciertas pendientes. 
La fórmula es la siguiente: 

Donde

Para entender esta fórmula, analicemos el primer paso de la aproximación, con base en la siguiente gráfica: 

En la...