Metodos numericos

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Capítulo 4
SOLUCIÓN NUMÉRICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
4.1 Introducción
La solución simultánea de sistemas de ecuaciones lineales, consume una
fracción de tiempo de cálculo significante en un equipo de cómputo. La solución de
tales sistemas, permite la aplicación a una gran variedad de problemas, incluyendo
la solución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias y ecuacionesdiferenciales parciales, análisis estructural, análisis de trabajo neto, optimización y
análisis de datos. Los sistemas consisten de un gran número de ecuaciones
simultáneas y se deberá seleccionar el mejor método para cualquier problema dado.
Puesto que las técnicas básicas del álgebra matricial son requeridas en este
capítulo, tal como veremos más tarde, se empieza con una discusión de laterminología y operaciones matriciales.
4.2 Conceptos y operaciones básicas con matrices.
4.2.1.Introducción
Una matriz es definida, en este contexto, como un arreglo rectangular de
números, caracterizada por el número de renglones y el número de columnas. Por
tanto,
2












 




6 2 1 4 1 1
1 1 2 3 1 9
2 0 5 4 3 1
1 7 1 4 8 7
A
es una matrizde 4 renglones y 6 columnas. Cualquier elemento dado de la matriz A
será denotado por aij, donde i es la localización en el renglón y j su localización en
columna. Así, a23 = 5.
Nuestro interés primario será con matrices cuadradas y matrices de
dimensión columna 1 o con dimensión en renglón 1. Matrices con dimensión 1 en
columna, tal como,

















85
3
7
2
B
son referidas como vectores columnas, mientras que las matrices con dimensión 1
en el renglón, tal como
F  1 3 5 2
Son llamados vectores renglón.
Las matrices cuadradas pueden tener ciertas configuraciones especiales que
son de interés en ingeniería. Podríamos ilustrar con una matriz de 4x4. Todas las
exposiciones son aplicables a matrices cuadradas de cualquier tamaño.Considere,













41 42 43 44
31 32 33 34
21 22 23 24
11 12 13 14
c c c c
c c c c
c c c c
c c c c
C
La diagonal consistente de c11, c22, c33 y c44 es llamada la diagonal principal
de la matriz. La matriz es llamada simétrica sí cij = cji. Una matriz triangular superior
es aquella en la cual todos los elementos debajo de la diagonal son cero. Por tanto,3













44
33 34
22 23 24
11 12 13 14
c
c c
c c c
c c c c
C
es triangular superior. Note que cuando los bloques de elementos son cero hay
simplemente blancos en la representación de la matriz.
Una matriz triangular inferior es aquella en la cual todos los elementos arriba de la
diagonal son cero, como:













41 42 4344
31 32 33
21 22
11
c c c c
c c c
c c
c
C
Una matriz diagonal es aquella en la que todos los elementos son cero
excepto los de la diagonal principal. Una matriz diagonal particularmente importante
es













0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
I
la cual es llamada matriz unitaria o matriz identidad. Una matriz bandeada tiene
todos los elementos ceroexcepto para una banda centrada en la diagonal principal.
Por consiguiente, el siguiente arreglo matricial es una matriz tridiagonal también
llamada matriz bandeada, en este caso con tres bandas.













43 44
32 33 34
21 22 23
11 12
c c
c c c
c c c
c c
C
Una matriz transpuesta es aquella que convierte sus renglones en columnas
y sus columnas en renglones.Así, por ejemplo, la transpuesta de la matriz de 4x4
que hemos presentado para la discusión, es
4













14 24 34 44
13 23 33 43
12 22 32 42
11 21 32 41
c c c c
c c c c
c c c c
c c c c
CT
Una matriz aumentada resulta cuando a la matriz original se le agrega una o
más columnas, por ejemplo, las dos siguientes matrices son aumentadas.
 



...