Metodos Para Generar Variables Aleatorias

CAPITULO 4 GENERACION DE VARIABLES ALEATORIAS
En esta sección se trataran procedimientos para muestrear una variedad de distribuciones de probabilidad discretas y continuas ampliamente usadas. En el capítulo 1, “introducción a la simulación” se discutió y se mostraron ejemplos de sistemas diversos donde se dejo clara la importancia de las distribuciones estadísticas para modelar actividades queson generalmente impredecibles o inciertas. Por ejemplo, los tiempos entre arribo y los tiempos de servicio en las colas, y la demanda de un producto, son generalmente impredecibles por naturaleza, al menos en cierta extensión. Usualmente tales variables son modeladas como variables aleatorias con una distribución estadística, y los procedimientos estadísticos estándar existen para estimar losparámetros de la distribución hipotética y para probar la validez del modelo estadístico asumido (como son las pruebas de Ajuste de Bondad), que se cubrirá en la siguiente sección.

Se asume que una distribución ha sido completamente especificada, y se han visto procesos para generar muestras de esta distribución para ser usadas como insumo para un modelo de simulación. El propósito de esta secciónes explicar e ilustrar algunas técnicas ampliamente usadas para generar variables aleatorias, y no para llevar a cabo una investigación profunda de las técnicas más eficientes. En la práctica, la mayoría de quién realiza la simulación usará las rutinas existentes en las bibliotecas disponibles en los lenguajes de programación, o en las rutinas de los lenguajes de simulación. Sin embargo, algunoslenguajes de programación no tienen rutinas internas de todas las distribuciones utilizadas. Aunque esto no es muy común, es importante entender como se lleva a cabo la generación de variables aleatorias.

En este capítulo se discuten las técnicas de transformación inversa, el método de convolución y más brevemente la técnica de aceptación-rechazo. Otra técnica el método de composición, esdiscutida por Fisherman [1978] y Law y Kelton [1991]. Todas las técnicas en este capítulo consideran que se conoce como fuente la uniformidad U(0,1) de los números aleatorios R1,R2,...., donde cada Ri tiene una función de densidad de probabilidad (FDP )

0 ≤ x ≤1 1, fR ( x ) =  0, en otro caso

Y la función de densidad acumulada de probabilidad (FDA )

 0, x < 0  FR ( x ) =  x, 0 ≤ x ≤1  1,x > 1 

4.1.-

Métodos de Generación de Variables Aleatorias

Hay una variedad de métodos para generar variables aleatorias. Cada método se aplica solo a un subconjunto de distribuciones y para una distribución en particular un método puede ser mas eficiente que otro.

4.1.1 Transformación Inversa
Si la variable aleatoria X tiene una FDA F(x), entonces la variable R = F(x) estadistribuida uniformemente entre 0 y 1. Por lo tanto, X se puede obtener generando números uniformes y calculando x = F-1 (R).

1.0 FDA F(x) u

0

x

Analíticamente, el método se representa como:

F(X ) = ∫

x

−∞

f (t )dt (9)
(10)

X = F −1 ( R )

donde f(x) es la función de densidad de probabilidad de la distribución deseada. Para ver porqué el X generado con este método enrealidad tiene la distribución deseada, tome un valor X0 y calcule la probabilidad acumulada:

P( X ≤ X 0 ) = P( R ≤ F ( X 0 ) = F ( X 0 ) (11)

Puesto que F(X0) pertenece al intervalo [0,1], la segunda igualdad plantea que R es un número uniformemente distribuido en dicho intervalo, y como F(x) es la función de probabilidad acumulada de X, se concluye que esta variable tendrá la distribucióndeseada.

Este método nos permite generar variables aleatorias siempre que se pueda determinar F-1 (x) analíticamente o empíricamente.

Ejemplo (determinación analítica): Sea X exponencial con f(x) = λe-λx . La FDA es F(x) = 1 - e-λx o .Si R es uniforme entre 0 y 1, entonces 1-R también esta X = − 1 Ln (1 − R ) λ distribuida uniformemente entre 0 y 1. Por lo tanto podemos generar variables...