Metodos para obtener volumenes calculo

Métodos para obtener volúmenes

22/11/2011

MÉTODO DEL DISCO.
Si giramos una región del plano alrededor de un eje obtenemos un sólido de revolución. El volumen de este disco de radio Ry de anchura ω es:

Para ver cómo usar el volumen del disco y para calcular el volumen de un sólido de revolución general, se hacen n particiones en la grafica.

Estas divisionesdeterminan en el sólido n discos cuya suma se aproxima al volumen del mismo. Teniendo en cuenta que el volumen de un disco, la suma de Riemann asociada a la partición, y que da un volumen aproximadodel sólido es:

Por tanto, recordando la definición de integral definida de Riemann se obtiene que:

Y

Son las expresiones para hallar el volumen del sólido según el eje de revolución.METODO DE LA ARANDELA.
Este método consiste en hallar el volumen de un sólido generado al girar una región R que se encuentra entre dos curvas como se muestra en la siguiente figura:Sí la región que giramos para formar un sólido no toca o no cruza el eje de rotación, el sólido generado tendrá un hueco o agujero. Las secciones transversales que también sonperpendiculares al eje de rotación son arandelas en lugar de discos.

Ahora hallemos las dimensiones de la arandela (R, radio exterior y r, radio interior)
Área de la arandela:

Por lo tanto:

Yel volumen es la suma de todas las arandelas:

y

MÉTODO DE CAPAS.
Consideremos el área:

Ahora si giramos R alrededor del eje y, se forma un solido.
Para determinar el volumen delsólido, tomamos un elemento con forma de cilindro en vez de arandela o disco con altura h y radio x (distancia del segmento al eje y)

El procedimiento a seguir ahora es de hallar el volumen deesta capa esta dado por:

Donderepresenta el grosor de la capa.
Ahora, la suma de todos los volúmenes de las capas cilíndricas tomadas del sólido, generan aproximadamente su volumen.