metodos

Métodos de mínimos cuadrados.
El procedimiento mas objetivo para ajustar una recta a un conjunto de datos presentados en
un diagrama de dispersión se conoce como "el método de los mínimos cuadrados". La recta
resultante presenta dos características importantes:
1. Es nula la suma de las desviaciones verticales de los puntos a partir de la recta de ajuste
∑ (Yｰ - Y) = 0.
2. Es mínima lasuma de los cuadrados de dichas desviaciones. Ninguna otra recta daría
una suma menor de las desviaciones elevadas al cuadrado ∑ (Yｰ - Y)² → 0
(mínima).
El procedimiento consiste entonces en minimizar los residuos al cuadrado Ci²

Re emplazando nos queda

 
La obtención de los valores de a y b que minimizan esta función es un problema que se puede resolver recurriendo a la derivación parcialde la función en términos de a y b: llamemos G a la función que se va a minimizar:
 
Tomemos las derivadas parciales de G respecto de a y b que son las incógnitas y las igualamos a cero; de esta forma se obtienen dos ecuaciones llamadas ecuaciones normales del modelo que pueden ser resueltas por cualquier método ya sea igualación o matrices para obtener los valores de a y b.
 

 
Derivamosparcialmente la ecuación respecto de a




  Primera ecuación normal
 
Derivamos parcialmente la ecuación respecto de b





  Segunda ecuación normal
 
Los valores de a y b se obtienen resolviendo el sistema de ecuaciones resultante. Veamos el siguiente ejemplo:
En un estudio económico se desea saber la relación entre el nivel de instrucción de las personas y el ingreso.
EJEMPLO 1Se toma una muestra aleatoria de 8 ciudades de una región geográfica de 13 departamentos y se determina por los datos del censo el porcentaje de graduados en educación superior y la mediana del ingreso de cada ciudad, los resultados son los siguientes:  
CIUDAD : 1 2 3 4 5 6 7 8
% de (X)
Graduados : 7.2 6.7 17.0 12.5 6.3 23.9 6.0 10.2
Ingreso (Y)
Mediana : 4.2 4.9 7.0 6.2 3.8 7.6 4.4 5.4(0000)
 
Tenemos las ecuaciones normales
 
∑y = na + b∑x
∑xy = a∑x + b∑x²
 
Debemos encontrar los términos de las ecuaciones
∑y, ∑x, ∑xy, ∑ x² Por tanto procedemos de la siguiente forma:
 
Y
X
XY
X²
 
 
 
 
4.2
7.2
30.24
51.84
4.9
6.7
32.83
44.89
7.0
17.0
119.00
289.00
6.2
12.5
77.50
156.25
3.8
6.3
23.94
39.69
7.6
23.9
181.64
571.21
4.4
6.0
26.40
36.005.4
10.2
55.08
104.04
43.5
89.8
546.63
1292.92
 
Sustituyendo en las ecuaciones los resultados obtenidos tenemos: 43.50 = 8a + 89.8b
546.63 = 89.8a + 1292.92b
multiplicamos la primera ecuación por (-89.8) y la segunda por (8) así:
43.50 = 8a + 89.8b (-89.8) 546.63 = 89.8a + 1292.92b (8)
-3906.30 = -718.4a - 8064.04b 4373.04 = 718.4a + 10343.36b
466.74 = -0- 2279.32b
 Este valor de b lo reemplazamos en cualquiera de las ecuaciones para obtener a así:
 
Reemplazando b = 0.20477 en la primera ecuación normal
 
43.5 = 8a + 89.8 (0.20477) 43.5 = 8a + 18.3880 43.5 - 18.3880 = 8a 25.1120 = 8a

Tenemos entonces que los coeficientes de regresión son : a = 3.139 y b = 0.20477. Por tanto la ecuación de regresión nos queda:

Significa entonces que por cada incremento en unaunidad en X el valor de se aumenta en 0.20477
Esta ecuación permite estimar el valor de para cualquier valor de X, por ejemplo: Una ciudad que tiene un porcentaje de graduados a nivel superior del 28% la mediana de ingreso para la ciudad será:
 


Los valores a y b también se pueden obtener de la siguiente forma: partiendo de las ecuaciones normales tenemos:


Si dividimos todos los términosde la ecuación (1) entre n nos queda:
 

Tenemos entonces que el primer termino es el segundo termino es la incógnita a y el tercer termino es la incógnita b multiplicada por por tanto nos queda:
 
  entonces

 
 
Reemplazando a en la ecuación (2) tenemos
 








 

a = 5.4375 – 0.20477 (11.2250) = 5.4375 – 2.2985 = 3.139
Se debe tener presente la diferencia entre el...