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Teoria de Control II
Apuntes de Clace.


La característica básica de la respuesta transitoria de un sistema de lazo cerrado se relaciona con la ubicación de los polos de Lazo cerrado. Si el sistema tiene una ganancia de lazo variable, la ubicación de los polos de lazo cerrado depende del valor de la ganancia de lazo elegida. Por tanto es importante que el diseñador conozca como se mueven lospolos en el plano S conforme varia la ganancia de Lazo.




Estabilidad relativa. ( A la variación de un sistema )
K ( Ganancia de sentido directo )
Evans Lugar geométrico de raíces ( Lazo cerrado)

Frecuencia

Bode
Nyquist.



K es lo que se modificara.

K E (0, Infinito) Para cualquier valor

Esto existe dado que G(s)= KN(s)/P(s) Lazo AbiertoH(s)=1 Retroalimentación

Notas:

Los polinomis en S son estrictamente Horwitz si:
* K N (s) Analitico
* P(s) Analitico
Donde N(s) es menor o igual a P(s)
Donde P(s) numero de raices mayor a N(s)


La ecuación característica de Evans

Dice que ( Lazo cerrado )

Ecuación Parametrica P(s) +KN(s) = 0 Esta es la ecuación general de Lazo cerrado de EvansDonde la Solución depende de K

KN(s) = 0 Ceros de Lazo cerrado
P(s)+KN(s)= 0 Polos de Lazo cerrado

* Cuando K  ∞






Que pasa en los extremos?

Puntos extremos a valores de K
Sea K = 0

P(s)+0 =0 NO lleva a los polos de Lazo abierto, por lo tanto los polos de Lazo cerrado son
Iguales a los Polos de Lazo abierto.

Sea K= a Infinito


P(s)+KN(s)=0 Donde el resultadoes N(s) = 0 Los Polos de Lazo cerrado tienden a los
Ceros de Lazo abierto.

Sea K tendiendo a infinito
P(s)+K(1)=1 P(s) es igual a menos K Si la ganancia de k tiende a Infinito y los ceros N(s)=1
Los ceros de lazo abierto tienden a menos infinito


* Si K  ∞ y N(s) = 1





No se tiene un cero de llegada, para cualquier valor de K, cuando K = 0, los Polos de Lazo Cerrado serán lospolos de Lazo Abierto, al incrementarse K, los Polos de Lazo Cerrado, se irán al infinito(-∞).



El grupo de Soluciones dadas por K las podemos encontrar sin resolver ninguna ecuación.








Ejemplo:
Sea la Ecuación de Lazo Abierto.



Nota: Numerador: Ceros; Denominador: Polos

Ceros de Lazo Abierto: (s+1)=0 ;
Polos de Lazo Abierto: s(s+2)(s+4)=0

Ceros:


Polos:Grafica:



Con la ec:


Sustituyendo con el ejemplo:



Si la ganancia K=0

Los polos de lazo cerrado, son iguales a los polos de lazo abierto. (Las Cruces de la gráfica).

Si la ganancia K=∞
Algún Polo (todavía no podemos calcular cual, tiende a llegar al Cero (-1, en la grafica)).










I. Lugar Geométrico de Raíces.

Evans diseño unmetodo sencillo para encontrar las raices de la ecuación característica llamada Metodo de lugar Geométrico de raices.




1) Localizar polos y ceros en el plano “s”.
2) Dibujar segmentos reales entre singularidades reales.






Dado el diagrama del control basico teenmos:




Localización de Polos Y ceros.
Localización de Polos y ceros de lazo abierto en el plano S


DibujarSegmentos reales entre singularidades reales:

G(s)  Polos de Lazo Abierto
1+(G(s)H(s)  Polos de Lazo Cerrado

1+G(s)H(s)=0 Ecuación Característica

G(s)H(s)=-1


Criterio de Magnitud

Criterio de Fase


Nota: Todas las posibles soluciones deben cumplir con los 2 criterios anteriores.

Para entender este apartado, definiremos el Epsilon Vecindario (ε)

ε:Se define, como unpunto del conjunto infinito de puntos que rodea un punto especifico, un punto de la esfera puntesimal(¿?) que rodea un punto.

Criterio de Fase:
Volviendo al ejemplo anterior:



En el ejemplo anterior, se localizaron las raíces de los polos y ceros, a continuación de muestran.

Ceros:


Polos:















Definimos puntos en el eje “s” de la grafica, entre cada...