Metodos

RAICES DE POLINOMIOS
4El teorema fundamental del
Algebra
4Evaluación
4 Aproximación y recuento de
raíces

Generalidades
Polinomio de grado n:
P(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0
ò r es raíz deP(x) si P(r)=0.
ò r es raíz de multiplicidad m de P(X) si existe un
polinomio Q(x) con P(X) = (x-r)mQ(x) y Q(r) ≠ 0
⇔
P(r) = 0, P’(r) = 0, … , P(m-1(r) = 0, P(m(r) = 0
ò Teorema fundamental delAlgebra: Todo polinomio de
grado n con coeficientes complejos tiene n raíces
complejas contadas con multiplicidad.

Regla de Horner
Teorema del resto:
P(a) es el resto de la división de P(x) por (x− a)
P(x) = Q(x)(x-a) + R(x); grado(R(x))= 0; P(a) = R
Consecuencia: P’(a) es el valor del cociente anterior en x = a
P’(x) = Q’(x)(x-a) + Q(x) ; P’(a) = Q(a)
Algoritmo de Horner:
qn-1 = an
fork = n-2, n-3, … , 0 do
bk = ak+1+aqk+1
end
P(a) = a0+aq0

Aplicaciones del
algoritmo de Horner
ò Cálculo del cociente y el resto de dividir un polinomio
P(x) por (x-a): Q(x) y R con
P(x)=Q(x)(x-a)+R.
ò Evaluación de un polinomio P(x) en un valor real a: P(a).
ò Deflacción de un polinomio: si a es raíz de P(x), P(x) es
divisible por (x-a) y Q(x) = P(x)/(x-a) es una deflacción.
òMétodo de Newton para polinomios
x

n +1

=x

n

−

P(x
P '( x

n
n

)
)

Ejemplo
P(x) = x4 - 5x3 + 4x2 - 3x + 2
1
2
1

−5
2
−3

−3
2
− 4 − 14
− 7 − 12

4
−6
−2Cociente

Resto = p(2)

p'(2)

Q(x) = x3 - 3x2 - 2x - 7
1

−3

−2

1

2
−1

− 2 −8
− 4 − 15

2

−7

Paso de Newton
x − p(x)/p'(x) =
2 − 12/15 = 6/5

Acotación de raícesreales
P(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0, an≠ 0
l Cota general (Mc Laurin): Sean A = max{|an-1|, …, |a1|,
|a 0|}, M = {|an/a0|, …, |a1/a0|}, y sea r∈3 con P(r) = 0, entonces
1/(1+M) < |r| < 1+(A/|an |)
lRegla de Newton: Un número natural k es cota superior de
las raíces positivas de P(x) si
P(k)≥0, P’(k)≥0, …, P(n-1(k)≥0, P(n(k)>0.
l Regla de Laguerre: k es cota superior de las raíces positivas...