Metodos

Métodos numéricos

Calculo de la raíz de una ecuación por método cerrado de bisección

Aunque la formula cuadrática es útil para encontrar la raíz de algunas ecuaciones, nos encontramos con muchas ecuaciones donde no es tan fácil de encontrar dichas raíces, para calcular dichas raíces se emplean algunos métodos numéricos descritos a continuación.

Según (Chapra & Canale, 2007). Losmétodos cerrados o también llamados de intervalos aprovechan el cambio de signo de la función cuando esta se acerca a la raíz, este método cerrado requiere de dos valores iníciales para la raíz, estos valores deben encerrar o estar a ambos lados de la raíz; el método de bisección es un método de búsqueda incremental por tal motivo localiza un intervalo en el que la función cambia de signo, entoncesdentro de este intervalo la localización del cambio de signo se logra con más exactitud al dividir el incremento en varios subintervalos. Se investiga cada uno de los subintervalos para encontrar el cambio de signo; este proceso se repite y la aproximación a la raíz es cada vez mejor a medida que los subintervalos se dividen en intervalos más pequeños.
Para llevar a cabo este método como primerpaso debemos elegir los valores iníciales inferior, xa, y superior, xb, que encierran la raíz, de forma tal que la función cambie de signo en el intervalo. Esto se verifica comprobando que fxa fxb<0; como segundo paso debemos calcular una aproximación de la raíz xr, la cual se determina mediante xr=xa+xb2; como tercer paso realizamos las siguientes evaluaciones para determinar en quesubintervalo esta la raíz, si fxa fxb<0, entonces la raíz se encuentra dentro del subintervalo inferior o izquierdo, por lo tanto haga que xa= xr , y vulva al paso dos; si fxa fxb>0, entonces la raíz se encuentra dentro del subintervalo superior o derecho, por lo tanto haga que xb= xr , y vuelva al paso dos; y si fxa fxb=0, entonces la raíz es igual a xr y termina el cálculo.

Ahora, de acuerdo a(Burden & Faires). El método de bisección o de búsqueda binaria se basa en el teorema del valor intermedio, este método nos permite encontrar una raíz, o solución de una ecuación de la forma fx=0 para una función dada f, supongamos que f es una función continua definida en el intervalo a, b con fa y f(b) de signos diferentes. De acuerdo a teorema del valor intermedio, existe un número p en(a, b), tal que fp=0. Si bien el procedimiento aplica aunque exista más de una raíz en el intervalo (a, b), por razones de simplicidad suponemos que la raíz de este intervalo es única. El método requiere dividir varias veces a la mitad los subintervalos de a, b y, en cada paso, localizar la mitad que contenga a p. Para encontrar la raíz mediante este método, supongamos que a1=a y b1=b, y sea p1 elpunto medio de a, b; es decir p1=a1+b12. Entonces si fp1=0, entonces p=p1; de no ser así, entonces fp1 tiene el mismo signo que f(a1) o f(b1); si f(p1) y f(a1) tienen el mismo signo, entonces p esta en (p1, b1) y tomamos a2=p1 y b2=b1; si fp1 y f(a1) tienen signos diferentes entonces p esta en (a1, p1) y tomamos a2=a1 y b2= p1. Después volvemos a aplicar el proceso al intervalo a2,b2De acuerdo a los puntos tratados por cada autor, la forma en que se expresa (Chapra & Canale, 2007) es más fácil de comprender, ya que nos va guiando paso a paso en el método que tenemos que seguir para encontrar la raíz y la forma en que expresa las equivalencias cada vez que se realiza algún calculo son más fácil de comprender.

Calculo de la raíz de una ecuación por método abierto deiteración de punto fijo

Como ya vimos, en los métodos cerrados la raíz se encuentra dentro de un intervalo predeterminado por un límite inferior y otro superior, y mientras más veces se repita dicho método la aproximación a la raíz será cada vez mayor. Sin embargo con los métodos abiertos es diferente, ya que estos métodos se basan en formulas que necesitan solo un valor de inicio o un par, pero...