Metodosnumericos

5. Raíces de ecuaciones
5.1 Métodos cerrados

Parte II: Análisis Numérico

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5.1.1 Métodos Gráficos
Un método simple para obtener una aproximación a la raíz de la ecuación f(x)=0, consiste en graficar la función y observar donde cruza el eje x.

Ejemplo: Utilizar gráficas por computadora para localizar las raíces de f(x) = x3 + x2 -3·x+5 Solución. Utilizando MATLAB, 0 THEN xl = xr fl= f(xl) il = 0 iu = iu+1 IF iu ≥ 2 THEN fu = fu/2 ELSE ea = 0 END IF IF ea < es OR iter ≥ imax THEN EXIT END DO ModFalsePos = xr END ModFalsePos

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Ejercicios
Ejercicio 5.1 Determine las raíces reales de f(x) = -0.4x2 + 2.2x + 4.7: a. Gráficamente b. Usando el método de bisección para determinar la raíz más grande. Emplee como valores iniciales xl=5 y xu=10.Calcule el error estimado εa y el error verdadero εt para cada iteración. Ejercicio 5.2 Calcule la raíz real positiva de f(x)=x4-8x3-36x2+462x 1010 utilizando el método de la falsa posición. Use una gráfica para escoger el valor inicial y realice el cálculo con εs = 1.0 %

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Ejercicio 5.3 La concentración de saturación de oxígeno disuelto en agua se calculacon la ecuación
1.575701 × 10 5 6.642308 × 10 7 1.243800 × 1010 8.621949 × 1011 ln Osf = −139.34411 + − + − 2 3 4 Ta Ta Ta Ta

donde Osf = concentración de saturación de oxígeno disuelto en agua a 1 atm (mg/L) y Ta = Temperatura absoluta (K). Recuerde que Ta = T + 273.15, donde T = temperatura (ºC). De acuerdo con ésta ecuación, la saturación disminuye con el incremento de la temperatura. Paraaguas naturales típicas en climas templados, la ecuación sirve para determinar rangos de concentración de oxígeno desde 14.621 mg/L a 0ºC hasta 6.949 mg/L a 35ºC. Dado un valor de concentración de oxígeno, ésta fórmula y el método de bisección son útiles para resolver la temperatura en ºC. Si los valores iniciales se fijan en 0 y 35ºC, desarrolle y pruebe un programa de bisección para determinar Tcomo una función de una concentración de oxígeno dada. Pruebe el programa para Osf=8, 10 y 14 mg/L. Compruebe sus resultados
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5.2 Métodos abiertos

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5.2.1 Iteración simple de punto fijo
Los métodos abiertos utilizan una fórmula para predecir la raíz. Esta fórmula puede desarrollarse como una iteración simple de punto fijo(También llamada iteración de un punto o sustitución sucesiva o método de punto fijo), al reordenar la ecuación f(x)=0 de tal modo que x esté del lado izquierdo de la ecuación: x=g(x) x2 + 3 Por ejemplo, x2-2x+3 = 0, se reordena para obtener x =

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Mientras que sen(x)=0, puede transformarse sumando x a ambos lados para obtener x=sen(x)+x

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De ésta manera,dado un valor inicial para la raíz xi , la ecuación anterior puede usarse para obtener una nueva aproximación xi+1, expresada por la fórmula iterativa xi+1=g(xi) El error aproximado se calcula usando el error normalizado:

xi +1 − xi εa = 100% xi +1

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Ejemplo

Iteración simple de punto fijo Planteamiento del problema. Use una iteración simple de puntofijo para localizar la raíz de f(x) = e-x - x Solución. xi+1=e-xi i
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

xi
1 0.367879 0.692201 0.500473 0.606244 0.545396 0.579612 0.560115 0.571143 0.564479
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εa %
100.0 171.8 46.9 38.3 17.4 11.2 5.90 3.48 1.93 1.11

ετ %
76.3 35.1 22.1 11.8 6.89 3.83 2.20 1.24 0.705 0.399
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Convergencia El error relativo porcentual verdadero en cadaiteración del ejemplo anterior, es proporcional (por un factor de 0.5 a 0.6) al error de la iteración anterior. Esta propiedad se conoce como convergencia lineal.

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f(x) Un método gráfico alternativo consiste en separar la ecuación en dos partes, de esta manera f1(x)=f2(x) Entonces las dos ecuaciones y1 = f1(x) y y2 = f2(x) se grafican por separado. Así, los...