metoos numericos bisecante

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METODOS NUMERICOS CON MATLAB
Juan Carlos Juajibioy Otero
juanc4332@gmail.com
Agosto,2012

1

Ceros de funciones

Dada una funci´n f : [a, b] → R, un punto x0 ∈ [a, b] se llama un cerode la
o
funci´n si
o
f (x0 ) = 0.
Un teorema util para encontrar los ceros de una funci´n es el Teorema de Bolzano
´
o
que enunciamos a continuaci´n.
o
Theorem 1.1. Sea f : [a, b] → R unafunci´n continua tal que f (a)f (b) < 0
o
entonces existe un x0 ∈ [a, b] tal que f (x0 ) = 0.

Considere por ejemplo la funci´n f (x) = ex − x2 y observe que f (−1) =
o
−0.6321 y que f (1) =1.7183 entonces por el teorema de Bolzano existe un
x0 ∈ [−1, 1] tal que f (x0 ) = 0. El objetivo de esta secci´n es desarrollar
o
algoritmos para encontrar estos cero.

1.1

El M´todo de Bisecci´ne
o

Suponga que en un intervalo [a, b] se tiene que f (a) < 0 y que f (b) > 0, entonces
tomando el punto medio c = a+b y evaluando f (c) tenemos tres posibilidades:
2
si f (c) = 0 entonces yaterminamos, si como se muestra en el gr´fico f (c) < 0
a
entonces, por el teorema de Bolzano el cero esta en el intervalo [c, b].
−
a

−
c

1

+
b

si no tenemos que f (c) > 0 entoncesel cero esta en el intervalo [a, c]. En el
gr´fico mostramos la configuraci´n para este caso.
a
o
−
a

+
c

+
b

As´ que el m´todo de bisecci´n se reduce a los siguientes pasos.
ı
e
o
I.Encontramos un intervalo [a, b] donde haya cambio de signo.
II. Tomamos el punto medio c = a+b y procedemos de la misma manera en
2
el intervalo donde haya cambio de signo.

Por ejemplo vamos aencontrar una aproximaci´n al cero de la funci´n f (x) =
o
o
ex − x2 + 1. Un intervalo donde hay cambio de signo es [−2, −1]. Mostramos
una tabla con tres iteraciones
n a
c
b
f (a)
f (c)
f(b)
0 -2
-1.5
-1 -2.8647 -1.0264 0.3679
Observe que en la iteraci´n
o
1 -1.5
-1.25
-1 -1.0269 -0.2760 0.3679
2 -1.25 -1.125 -1 -0.2760 0.0590
0.3679
2 el cero esta en el intervalo [−1.25,...