Metos numericos ecuaciones algebraicas

ECUACIONES ALGEBRAICAS - 2

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ECUACIONES ALGEBRAICAS - 2
En este tema se estudian métodos para resolver ecuaciones que se encuentran en la forma f(x)=0. Esta forma es más estable y la mayoría de las funciones se encuentra ya en la misma, por lo que resulta de mayor utilidad práctica. Como ya se vio en los anteriores temas, gráficamente la solución se encuentra en la intersección de lacurva "f(x)" y la recta "x=0":
f f(x)

Solución + 0 x

3.1.

MÉTODO INCREMENTAL

Dado que a ambos lados de la solución la función tiene signos diferentes, el método incremental simplemente busca el lugar donde ocurre dicho cambio. Matemáticamente se sabe que dos valores tienen signo diferentes cuando el resultado de su multiplicación es negativa (menor que cero). En el método incrementalse asume valor inicial “x1” y un incremento “Δx”, entonces se calculan valores sucesivos de la función (obtenidos con el incremento: xi+1=xi+Δx), hasta que se produce un cambio de signo: f

Incremento

Segmento donde ocurre el cambio de signo

x x x x x x + - 0 x1 x2 Solución Una vez encontrado el segmento donde ocurre el cambio, se puede volver a repetir el método empleando unincremento más pequeño, usualmente la décima parte del incremento original. Este proceso se puede repetir hasta que el segmento sea casi cero (exactitud) o hasta que los valores de “x” a ambos lados del segmento sean casi iguales (precisión). Sin embargo, alcanzar una exactitud o precisión elevada, suele requerir demasiadas iteraciones, razón por la cual el método incremental generalmente se emplea sólopara enconx

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Hernán Peñaranda V.

trar el segmento de solución. La solución más exacta se encuentra luego con otros métodos. Aunque el proceso es muy simple, para tener una idea más clara se encontrará el segmento de solución para la siguiente función, comenzando la búsqueda en x=0.1 (x1) con un incremento de 0.2 (Δx):

f (x )=( 52+3 √ x−8x 0.8 )
Primero se programa la función:0.36

−x=0

>> function r=fx(x) r=(52+3*sqrt(x)-8*x^0.8)^0.36-x; end Se asignan los valores iniciales y se calcula el valor de la función: >> dx=0.2; x1=0.1, fx(x1) x1 = 0.1 ans = 4.038075664336324 Entonces se incrementa el valor de “x1” y se vuelve a calcular el valor de la función hasta que ocurre un cambio de signo: >> x1+=dx, fx(x1) x1 = 0.30000000000000004 ans = 3.806411761132061 >>x1+=dx, fx(x1) x1 = 0.5 ans = 3.575131566593953 >> x1+=dx, fx(x1) x1 = 0.7 ans = 3.3443975964542174 >> x1+=dx, fx(x1) x1 = 0.8999999999999999 ans = 3.114077365724064 >> x1+=dx, fx(x1) x1 = 1.0999999999999999 ans = 2.8840553877884245 >> x1+=dx, fx(x1) x1 = 1.2999999999999998 ans = 2.6542422965604398 >> x1+=dx, fx(x1) x1 = 1.4999999999999998 ans = 2.424568232957628 >> x1+=dx, fx(x1) x1 =1.6999999999999997 ans = 2.194977090786485 >> x1+=dx, fx(x1) x1 = 1.8999999999999997 ans = 1.9654225285726123 >> x1+=dx, fx(x1) x1 = 2.0999999999999996 ans = 1.7358652631442486 >> x1+=dx, fx(x1) x1 = 2.3 ans = 1.5062712033539745 >> x1+=dx, fx(x1) x1 = 2.5 ans = 1.2766101309790843 >> x1+=dx, fx(x1) x1 = 2.7 ans = 1.0468547436884839

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>> x1+=dx, fx(x1) x1 =2.9000000000000004 ans = 0.8169799426585085 >> x1+=dx, fx(x1) x1 = 3.1000000000000005 ans = 0.5869622889544353 >> x1+=dx, fx(x1) x1 = 3.3000000000000007 ans = 0.3567795784978278 >> x1+=dx, fx(x1) x1 = 3.500000000000001 ans = 0.126410501638206 >> x1+=dx, fx(x1) x1 = 3.700000000000001 ans = -0.1041656362321075 Como se ve, el cambio de signo ocurre entre x=3.5 y x=3.7, por lo tanto la solución se encuentra enalgún lugar entre estos dos límites. 3.1.1. Algoritmo y código (segmento de solución) El algoritmo que automatiza el proceso es:
incr1: Segmento de solución método Incremental. recibir f,x1,dx,li c=1 f1 = f(x1) x2 = x1+dx f2 = f(x2) [else] [else] c =c+1 x 1 = x2 [c=li] mostrar x2 generar error Límite de iteraciones alcanzado [f1*f2 function r=fx1(x) r=x^3+2*x^2+3*x+4; end >> incr1($fx1,1.1,0.5,50)...