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FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

Consideremos la ecuación a2 + b2 =1(circulo de radio 1) a tal circulo lo llamaremos circulo trigonométrico, a y b son variables. Con ayuda de este círculo se definen las funciones circulares cuyo dominio se encuentra en los números reales.
Sea x un número real arbitrario y c el circulo unitario con ecuación a2 + b2 =1
a) Si X>0 : comience en (1,0) yprocédase en el sentido contrario a las manecillas del reloj alrededor de la circunferencia C hasta que se haya cubierto una longitud de arco de x unidades. Sea P = (a,b) el punto final del arco.

b) Si = 0; P = (a,b) = (1,0)

c) Si X< 0; comience en (1,0) y procédase en el sentido al movimiento de las manecillas del reloj alrededor de la circunferencia C, hasta que se haya cubierto unalongitud del arco de x unidades

P
(1,0)
X

P
(1,0)
x

En todos los casos se define las funciones circulares : sen x = b; cosx = a; tanx = b/a.
cscx = 1/b; secx =1/a; ctgx a/b

Note que aquí estas funciones no incluyen ningún ángulo, contienen las coordenadas de un punto terminal de arco de longitud x sobre un círculo trigonométrico. Ahora mostremos como se pueden relacionar estasfunciones con las funcionestrigonométricas (cuyo dominio usa ángulos). Observe la medida en radian de un ángulo Ɵ subtendido por un arco de x unidades sobre un cirluco trigonométrico:

(1,0)

Ɵ

x

Ɵ = xr radianes
Como r = 1 Ɵ = x1 = x radianes.
El ángulo subtendido por un arco de x unidades, tiene una medida de x radianes

Resumiendo:
A las porciones de plano cartesianodefinidas por los semiejes se les denomina cuadrantes

Así:

F (Ɵ) | Sen Ɵ = y | Cos Ɵ = x | TanƟ = yx | CtgƟ = xy | Sec Ɵ =1x | Csc Ɵ =1y |
I | + | + | + | + | + | + |
II | + | - | - | - | - | + |
III | - | - | + | + | - | - |
IV | - | + | - | - | + | - |

1.1. Ángulo en radianes: Consideremos una circunferencia de radio 1. Vea que la longitud del arco AB es proporcional alángulo central Ɵ (en grados). Por lo tanto, en vez de medir un ángulo en grados, se puede emplear la longitud del arco (medida en unidades) correspondiente al ángulo dado. Esta medida de un ángulo se llama medida en radianes.
Como la longitud total dela circunferencia de radio 1 es 2π corresponde al ángulo de 360°, entonces tenemos que a x radianes corresponde (xπ ). 180 grados.

Así:

Ánguloen grados | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 120° | 135° | 150° | 180° |
Ángulo en radianes | 0 | π6 | π4 | π3 | π2 | 2π3 | 3π4 | 5π3 | π |

Se acostumbra omitir la palabra radianes así, 30° = π6 ; 360° = 2π ; etc.

1.2. Funciones trigonométricas de números reales especiales: son considerados números reales especiales Ɵ = 0 , π2, π , 3π2 , π6 , π3 , π4.
Considerándoles en cualquiercuadrante.

Según el grafico a las componentes en x las llamaremos cosƟ, y a las componentes en y las llamaremos senƟ.

Resumiendo:

Ɵ | cosƟ | senƟ |
0° | 1 | 0 |
π2 | 0 | 1 |
π | -1 | 0 |
3π2 | 0 | -1 |

Teorema: En los triángulos rectángulos cuyos ángulos agudos miden π6 y π3 las hipotenusas el doble de lo que mide el cateto menor.

OB = (OA)2-(AB)2
= 1-(1/2)2= 1-1/4 = 3/4 = 32

AB = (OA)2-(OB)2
= 1-(1/2)2 = 32

Así:
Si Ɵ = π6 sen π6 = 12
Cosπ6 = 32
Si Ɵ = π3 sen π3 = 32
Cosπ3 = 12

Ahora Para Ɵ = π4: Consideremos el triángulo rectángulo AOB.

Como cuando Ɵ = π4 tenemos que x = y, y como se debe satisfacer que x2 + y2 = 1. Entonces
2x2 = 1 x2 = 12
X = 12 = 1222 = 22 = y

Así:
Si Ɵ= π4 sen π4 = 22
cosπ4 = 22

1.3. Reducción de ángulos al primer cuadrante: teniendo en cuenta que las líneas trigonométricas nos permiten hallar el signo de una función trigonométrica rápidamente, queremos hacer notar que es suficiente conocer las funciones trigonométricas de los ángulos comprendidos entre 0 y π4 , para determinar las de todos los demás ángulos, es decir, dado...