mezclas
































3.5 Mezclas











CAPÍTULO

3
Aplicaciones de primer orden

Si disolvemos 500 g de azúcar en 20 ` de agua, obtenemos una solución dulce con una concentración
500
C D
20
g/` D 25 g/` de azúcar (se lee 25 gramos por litro y significa 25 gramos de azúcar por cada litro
de solución).
Cuando disolvemos 10 lb desal en 50 gal de agua, obtenemos una solución salina o salmuera con una
concentración C D10lb/gal D 0:2 lb/gal de sal (léase 0:2 libras por galón).
50
En general, si disolvemos Q kg (o cualquier unidad de masa) de un soluto en V ` (o alguna otra unidad de
volumen) de un solvente, obtenemos una solución con una concentración C DQkg/` del soluto (leído
V
C kilogramos por litro y entendido comoC kilogramos de soluto por cada litro de solución). Esto es




500 g
en
20 `




C D 25 g/`




10 lb
en
50 gal




C D 0:2 lb/gal




Q kg
en
V `




Q
C D kg/`
V
Ahora supongamos que inicialmente (en t D 0) tenemos en un tanque una cantidad V0de solución donde
hay disuelta una cantidad Q0de un soluto. Supongamos también que, a partir de t D 0, se dejaentrar
otra solución al tanque con una rapidez Re(flujo de entrada) y con una concentración Ce(concentración de
entrada) del mismo soluto y que, al mismo tiempo, se deja salir del tanque la nueva solución (considerada
uniforme por mezclado) con una rapidez Rs(flujo de salida) y una concentración Cs(concentración de sali-

1. canek.azc.uam.mx: 22/ 9/ 2010

1


2

da) del mismo soluto.Observamos lo siguiente:

Ecuaciones diferenciales ordinarias
1. Si ReD Rs, entonces la cantidad V0de solución se mantiene constante al paso del tiempo t .
2. Si Re¤ Rs, entonces la cantidad V de solución será función del tiempo t ; es decir, V D V .t /. Aún más,
si Re> Rs, entonces V .t / > V0(además es creciente); mientras que, si Re< Rs, entonces V .t / < V0
(además es decreciente).
3. Engeneral, la cantidad Q de soluto en el tanque será función del tiempo t ; es decir, Q D Q.t /.
4. Igualmente, la concentración C del soluto en el tanque será función del tiempo t ; y variará según que
ReD Rso que Re¤ Rs, esto es,

C.t / D
Q.t /
V0
o bien C.t / D Q.t /
V .t /

:

5. Un problema que es de interés en esta clase de procesos consiste en determinar la cantidad Q.t / desoluto en el tanque en cualquier instante t 0.
Para resolver este problema procedemos como sigue:
Consideremos primero la rapidez con que cambia la cantidad de soluto Q.t / en el tanque, la cual está dada
por la rapidez con que entra el soluto menos la rapidez con la que sale. Esto es,
d
dt Q.t / D (rapidez con que entra el soluto(rapidez con que sale el soluto :
Si tomamos en cuenta que
larapidez con que entra el soluto es ReCe;
la rapidez con que sale el soluto es RsCsD RsC.t /.
El modelo de este proceso queda como el PVI:
d
Q.t / D ReCeRsC.t /; con Q.0/ D Q0:
dt
El método de solución de este PVI dependerá de las condiciones del problema.
Ejemplo 3.5.1 En un tanque que contiene 1 000 ` de agua, inicialmente se disuelven 5 kg de sal. Luego se bombea
salmuera al tanque a razónde 20 `/min y la solución uniformemente mezclada se bombea hacia afuera del tanque a la
misma razón. Considerando que la concentración de la solución que entra es de 0:01 kg/`, determinar:
1. La cantidad de sal que hay en el tanque en cualquier instante t 0.
2. La cantidad de sal en el tanque después de 30 min.
3. La cantidad de sal en el tanque después de mucho tiempo.
4. El tiempo que debetranscurrir para que haya 8 kg de sal en el tanque.
H Sea Q.t / la cantidad (en kg) de sal en el tanque después de t min. Como inicialmente se tienen 5 kg de
sal, entonces Q.0/ D 5.
La rapidez de cambio de la cantidad Q.t / de sal en el tanque en el instante t es
d
dt Q.t / D (rapidez con que entra la sal(rapidez con que sale la sal :
¿Con qué rapidez entra la sal al tanque?


3.5...