MF_Tema_2_Hidrostatica

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Mecánica de Fluidos

Tema 2

H I D R O S TAT I C A
Estática de fluidos

Presión
La presión se define como una fuerza por unidad de superficie.
Por ejemplo un sólido apoyado sobre una superficie ejerce una presión igual al peso sobre el área d ela superficie de
contacto.

W

Area A

P=

W
A

P

Ecuación fundamental de la hidrostática
Esta es una expresión que permite determinar el campo depresiones dentro de un fluido.
Consideremos un elemento diferencial (dm) de masa del fluido de
lados dx, dy, dz.
Como todo fluido, este elemento puede estar sometido a fuerzas
superficiales y fuerzas volumétricas:
• La única fuerza volumétrica que por lo general interesa en
los problemas de ingeniería es la debida a la gravedad o
peso propio:

z

dz
PL

r
r
r
r
dFB = gdm = gρdV = ρg dx dy dz

•

PR
ydx
Al estar el fluido en reposo la única fuerza superficial a la
que está sometido es la debida a la presión, ya que no
x
dy
soporta fuerzas cortantes.
Luego ésta se puede expresar haciendo un desarrollo en
serie de Taylor alrededor del punto “O” (centro del elemento) para cada una de las caras del elemento. Así, si P
es la presión en el centro del elemento y se desprecian los términos de ordensuperior, para la cara izquierda:

PL = P +

∂P
(YL − y ) = P + ∂P ⎛⎜ − dy ⎞⎟ = P − ∂P dy
∂y
∂y ⎝ 2 ⎠
∂y 2

Y se pueden obtener expresiones similares para las demás caras del elemento, así para la cara derecha:

PR = P +

∂P
(YR − y ) = P + ∂P dy
∂y 2
∂y

Cada fuerza de presión es entonces el producto de tres factores:
• La magnitud de la presión (ecuación anterior)
• El área de la cara donde actúala fuerza (para las caras izquierda y derecha será dxdz)
• El vector unitario correspondiente (para las caras izquierda j y derecha –j)
La ecuación para las fuerzas superficiales queda entonces como:

Jean-François DULHOSTE – Escuela de Ingeniería Mecánica - ULA

Mecánica de Fluidos

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r ⎛
∂P dx ⎞
∂P dx ⎞
⎛
dFS = ⎜ P −
⎟(dydz )(i ) + ⎜ P +
⎟(dydz )(− i )
∂x 2 ⎠
∂x 2 ⎠
⎝
⎝
⎛
⎛
∂P dy ⎞
∂P dy ⎞⎟⎟(dxdz )( j ) + ⎜⎜ P +
⎟(dxdz )(− j )
+ ⎜⎜ P −
∂y 2 ⎠
∂y 2 ⎟⎠
⎝
⎝

∂P dz ⎞
∂P dz ⎞
⎛
⎛
+⎜P −
⎟(dxdy )(k ) + ⎜ P +
⎟(dxdy )(− k )
∂z 2 ⎠
∂z 2 ⎠
⎝
⎝
Agrupando y cancelando términos obtenemos:

r
⎛ ∂P ∂P
∂P ⎞
dFS = −⎜⎜ i +
j+
k ⎟ dx dy dz = −∇P dx dy dz
∂y
∂z ⎟⎠
⎝ ∂x
⎛ ∂
∂
∂⎞
+ j + k ⎟⎟ P se denomina gradiente de presión.
Donde ∇P = ⎜⎜ i
∂y
∂z ⎠
⎝ ∂x
La fuerza total en el elemento será entonces:

r
r
r
rdF = dFB + dFS = (ρg − ∇P ) dx dy dz

Que podemos expresar por unidad de volumen como:

r
r
r
dF
dF
=
= (ρg − ∇P )
dV dx dy dz

Por otro lado si aplicamos la ley de Newton tendremos:

r
dF r
⇔
= aρ
dV
r
r
dF
Como el fluido está estático a = 0 , por lo tanto
=0
dV
Igualando las dos ecuaciones obtenemos:
r
ρg − ∇ P = 0
r r
dF = aρdV

Como se trata de una ecuación vectorial, esta se puede expresar entermino de sus componentes:

∂P
= 0 en dirección x
∂x
∂P
= 0 en dirección y
ρg y −
∂y
∂P
ρg z −
= 0 en dirección z
∂z

ρg x −

Si se escoge un sistema de coordenadas tal que la dirección de la gravedad coincida con uno de los ejes (z por ejemplo)
entonces tendremos que:

∂P
=0
∂x
∂P
=0
∂y
∂P
= − ρg
∂z

Obtenemos así la ecuación fundamental de la hidrostática:

dP = − ρgdz

Jean-François DULHOSTE– Escuela de Ingeniería Mecánica - ULA

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Mecánica de Fluidos

Esta ecuación es válida bajo las condiciones siguientes:
1. Fluido en reposo
2. La única fuerza volumétrica es la gravedad
3. Eje z vertical hacia arriba
Si consideramos que el fluido es incompresible, lo cual se puede suponer para muchos casos prácticos, entonces se
puede integrar esta expresión entre el nivel de referencia z0 al cualcorresponde una P0 y un nivel z al cual corresponde
una presión P:

Si

ρ

∫

P

P0

z

dP = − ∫ ρgdz
z0

y g son constantes:

P − P0 = − ρg (z − z 0 )
Y si llamamos h = ( z − z 0 ) , siendo h positiva de arriba hacia abajo tendremos:
P = P0 + ρgh
P0

h

P

Propiedades de la presión en un fluido
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La presión en un fluido en reposo es igual en todas las direcciones (principio de...