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CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE
1. Continuidad y derivabilidad
1.1. Continuidad
Definición 1.1. Una función real de variable real f es una aplicación que asigna a cada número real x otro número real y = f (x). De modo simbólico escribiremos f : R ! R x 7! y = f (x):
Asociados a toda función f podemos definir los siguientes conjuntos:
i) Dominio de f , Dom f , el conjunto denúmeros reales x para los que existe el valor f (x):
Dom f = fx 2 R : f (x) 2 Rg _ R:
ii) Imagen de f , Im f , el conjunto de todos los valores y = f (x) cuando x recorre el dominio de la funciónf :
Im f = fy = f (x) : x 2 Dom f g = f (Dom f ) _ R:
iii) Grafo o gráfica de f , Grafo f , el subconjunto del plano R2 formado por puntos de la forma (x; f (x)), donde x varía en el dominio de lafunción f :
Grafo f = f(x; f (x)) : x 2 Dom f g _ R2:
Figura 1.1. Dominio (en azul), imagen (en rojo) y gráfica (en negro) de una función f .
MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA OCW-ULL 2013
2/24 B. GONZÁLEZ, D. HERNÁNDEZ, M. JIMÉNEZ, I. MARRERO, A. SANABRIA
Ejemplo 1.2. a) Para la función f1(x) = x3􀀀x se tiene que Dom f = Im f = R.
b) Para la función f2(x) = ln x se tiene que Dom f = (0;+¥) e Imf = R.
c) Para la función f3(x) = cos x se tiene que Dom f = R e Im f = [􀀀1;1].
d) Para la función f4(x) = e􀀀x2 se tiene que Dom f = R e Im f = (0;1].
Teniendo en cuenta la representación gráfica de funciones surge el concepto de función continua en un punto y en un intervalo. De modo intuitivo, una función f es continua en x = a si en un entorno del punto (a; f (a)) se puede trazar la gráficade la función sin levantar el lápiz del papel. Más formalmente, tenemos la
Definición 1.3. Una función f es continua en un punto x = a si para cualquier cantidad e > 0 existe otra cantidad d > 0 tal que jx􀀀aj < d implica j f (x) f (a)j < e. Decimos que la función f es continua en un intervalo (a;b) si es continua en cada uno de los puntos del intervalo.
De modo equivalente (y más operativo), lafunción f es continua en x=a si existe el límite L=l´ımx!a f (x) y dicho límite verifica L = f (a). Obsérvese que esta propiedad requiere la existencia de los límites laterales en el punto y su coincidencia con el valor de la función en el punto, esto es, l´ım
x!a+ f (x) = l´ımx!a􀀀
f (x) = f (a): (1.1)
Figura 1.2. Continuidad de una función en un punto x = a.
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Definición 1.4. Si para una función f los límites laterales en un punto x = a no existen o no satisfacen las igualdades dadas en (1.1), diremos que f es discontinua (o bien, no continua) en x = a.
Nótese que los tipos de discontinuidad que se pueden presentar son los siguientes:
Discontinuidad evitable: es aquella que seproduce cuando existen y son iguales los límites laterales, pero difieren del valor de la función en el punto:
9L = l´ım x!a+ f (x) = l´ım
x!a􀀀 f (x) pero L 6= f (a):
Claramente, esta discontinuidad se puede evitar redefiniendo la función f en el punto x = a a través del valor común de los límites laterales, es decir, haciendo f (a) = L.
Discontinuidad de salto: es aquella que se produce cuando loslímites laterales existen pero toman diferente valor, o bien cuando alguno de ellos es infinito. En el caso de que los límites laterales tomen valores finitos se dice que la discontinuidad es de salto finito:
l´ım x!a+f (x) 6= l´ım x!a􀀀
f (x) ) salto =____l´ımx!a+
f (x)􀀀 l´ım x!a􀀀 f (x)____;mientras que si algún límite lateral (o ambos) es infinito:l´ımx!a+ f (x) = ¥ ó l´ım x!a􀀀 f (x) = ¥; sedice que la discontinuidad es de salto infinito.Por otra parte, en aquellos casos en los que no existe alguno de los límites laterales se habla de discontinuidades esenciales.
Véase la Figura 1.3.
1.2. Derivabilidad
Definición 1.5. Si f (x) está definida en un intervalo [a;b], se denomina tasa de variación media de f en [a;b] al cociente Tm( f ; [a;b]) = f (b)􀀀 f (a) b􀀀a:
Figura 1.3. Tipos...