Mi Epistemología sin Kuhn

El teorema de Gödel es equiparable en mi opinión y debido a su gran importancia a la teoría de la relatividad de Einstein, y es una de las construcciones fundamentales de las matemáticas de todos los tiempos. Gödel utilizó el rigor de las matemáticas para demostrar sin duda alguna, que las matemáticas mismas son incompletas.
En su artículo de 1931, Gödel demuestra que en cualquier sistemalógico basado en axiomas, paradigmas y reglas de inferencia, existen enunciados cuya verdad o falsedad no vamos a poder decidir basándonos en la propia lógica matemática del sistema. Antes de Gödel esto ni siquiera se consideraba, pues lo interesante de un enunciado era poder demostrar que era verdadero o bien era falso.
A partir de Gödel aparece una diferencia muy sutil entre verdad/falsedad y sudemostración. El teorema de Gödel tiene que ver con enunciados que hacen referencia a ellos mismo. Sócrates afirmaba, en su famosa frase: "Yo sólo sé que no sé nada" una contradicción, ya que al afirmar que sólo sabía una cosa, y al mismo tiempo, no sabía nada: hacía referencia a sí mismo y ahí es donde residía su contradicción. Entonces cómo podemos manifestar la afirmación o guía de algo en undesarrollo científico si se demuestra que nada es completo?.
A principios del siglo XX (1902) el gran matemático y filósofo Bertran Russell, que entonces era un joven de 30 años, le envió una carta al gran matemático Gottlog Frege, uno de los creadores de la lógica simbólica, en la que le planteaba una paradoja que generaba una contradicción en su sistema de axiomas. Al cabo de unos años (1913), elpropio Rusell y otro gran matematico, Alfred North Whitehead, trataron de reparar el daño hecho por su paradoja, escribiendo una obra monumental que titularon Principia Mathematica. Llegaron a desarrollar un sistema matemático de axiomas y reglas de inferencia, cuyo propósito era el que fuera posible traducir en su esquema todos los tipos de razonamientos matemáticos correctos. Todo estabaespecialmente cuidado para impedir los tipos de razonamiento paradójico que conducían a la propia paradoja de Russell. Posteriormente, el matemático David Hilbert se embarcó en la tarea de establecer un esquema mucho más manejable y comprensible. Se incluirían todos los tipos de razonamientos matemáticamente correctos para cualquier área matemática particular. Además, pretendía que fuera posibledemostrar que el esquema estaba libre de contradicciones. Entonces, las matemáticas estarían situadas, para siempre, sobre unos fundamentos inatacables.

Pero en 1931 Kurt Gödel, un joven matemático austríaco de 25 años, publicó su famoso artículo "Sobre proposiciones formalmente no decidibles en Principia Mathematica y sistemas relacionados" y desmontó, definitivamente, la soberbia estructura montadasobre la lógica y paradigmas de desarrollo científico e investigativo de la matemática, que se suponía completa. Destrozó el programa planeado por Hilbert, porque demostró que cualquiera de estos sistemas matemáticos precisos (formales) de axiomas y reglas de inferencia (finitos), siempre que sea lo bastante amplio para contener descripciones de proposiciones aritméticas simples y siempre que estélibre de contradicción, debe contener algunos enunciados que no son demostrables ni indemostrables con los medios permitidos dentro del sistema. De hecho, por sorprendente que parezca, Gödel demostró que el mismo enunciado de la consistencia del propio sistema axiomático debe ser una de esas proposiciones indecidibles. Es de aclarar que la indecibilidad o independencia, es la noción de lógicamatemática referida a la imposibilidad de demostrar o refutar una sentencia a partir de otras.

Gödel encontró que la verdad es una categoría superior a la demostrabilidad, y que su argumento nos da la posibilidad, mediante intuición directa, de ir más allá de las limitaciones de cualquier sistema matemático formalizado.

En otras palabras, Si un teorema contiene más información que un...