Mi Examen

19a Olimpiada Mexicana de Matemáticas
Campeche, Campeche
Noviembre de 2005

1. Sea O el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo ABC , y sea
P un punto cualquiera sobre el segmentoBC (P = B y P = C ). Supón
que la circunferencia circunscrita al triángulo BP O corta al segmento AB
en R (R = A y R = B ) y que la circunferencia circunscrita al triángulo
COP corta al segmento CAen el punto Q (Q = C y Q = A).
(a) Considera el triángulo P QR; muestra que es semejante al triángulo
ABC y que su ortocentro es O.
(b) Muestra que las circunferencias circunscritas a lostriángulos BP O,
COP y P QR son todas del mismo tamaño.
2. Dadas varias cuadrículas del mismo tamaño con números escritos en sus
casillas, su suma se efectúa casilla por casilla. Por ejemplo:
1
3

2
1+
4
0

0
2
+
1
3

0
4
=
0
6

2
5

Dado un entero positivo N , diremos que una cuadrícula es N -balanceada
si tiene números enteros escritos en sus casillas y si la diferenciaentre los
números escritos en cualesquiera dos casillas que comparten un lado es
menor o igual que N .
3. Determina todas las parejas (a, b) de enteros distintos de cero para las
cuales es posibleencontrar un entero positivo x primo relativo con b y un
entero cualquiera y , tales que en la siguiente lista hay una innidad de
números enteros:
a + xy a + xy 2 a + xy 3
a + xy n
,
,
,...,,...
2
3
b
b
b
bn

4. Sea N un entero mayor que 1. En cierta baraja de N 3 cartas, cada carta
está pintada de uno de N colores distintos, tiene dibujada una de N posibles guras y tiene escritoun número entero del 1 al N (no hay dos cartas
idénticas). Una colección de cartas de la baraja se llama completa si tiene
cartas de todos los colores, o si entre sus cartas aparecen todas la guraso
1

todos los números. ¾Cuántas colecciones no completas tienen la propiedad
de que, al añadir cualquier otra carta de la baraja, ya se vuelven completas?
5. Decimos que una lista de...