mi primer ensayo

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4.3.

4 Modelos ´tomicos precu´nticos
a
a

Reglas de cuantificaci´n de Sommerfeld–Wilson–Ishiwara
o
(SWI)

Uno de los resultados m´s importantes de la primitiva teor´ cu´ntica fue la generalizaci´n,
a
ıa a
o
y en cierto modo la interpretaci´n dentro del marco de la mec´nica cl´sica, de la teor´ de
o
a
a
ıa
Bohr llevada a cabo por Sommerfeld en 1916, Wilson en 1915 eIshiwara en 1915 para sistemas
multiperi´dicos.
o
Recordemos que un sistema mec´nico con descripci´n hamiltoniana se llama multiperi´dico si
a
o
o
existe alg´n conjunto de coordenadas generalizadas {qi , pi }n tales que pi es funci´n unicamente
u
o ´
i=1
de qi sobre cada trayectoria del espacio f´sico y adem´s la proyecci´n de la trayectoria del sistema
a
a
o

sobre cada uno de losplanos (qi , pi ) es una curva peri´dica, bien en el sentido de libraci´n o en
o
o
el de rotaci´n. Para este tipo de movimientos hemos visto que como coordenadas generalizadas
o
podemos utilizar las denominadas variables de acci´n, definidas como
o
Ji =

dqi pi ,

(4.23)

extendiendose la integral a un periodo completo de la proyecci´n de la trayectoria del movimiento
o
del sistema en elespacio de las fases sobre el plano (qi , pi ). Recordemos que estas variables de
acci´n son constantes de movimiento y sus correspondientes momentos conjugados, ωi , conocidos
o
como variables angulares, se pueden obtener a partir de la ecuaci´n can´nica
o
o
ωi = ∂Ji H = νi ,
˙

(4.24)

siendo νi la frecuencia asociada al movimiento de las variables qi , pi .
Para sistemasmultiperi´dicos SWI suponen que las variables de acci´n est´n cuantificadas y
o
o
a
que los unicos valores posibles son
´
Ji = ni ¯ ,
h

ni = 1, 2, . . .

(4.25)

(Recuerdese que Ji se determina como una integral en el espacio de las fases.) Esta hip´tesis
o
viene a decirnos dos cosas: primero que el ´rea encerrada por la curva cerrada, en cualquiera
a
de las proyecciones, sobre determinadosplanos del espacio de las fases no puede ser nula (en el
caso cl´sico s´ y segundo que no todas las ´rbitas est´n permitidas y el granulado del espacio
a
ı),
o
a
f´sico impone su ley.
a
El enunciado de la hip´tesis (4.25) no es s´lo una generalizaci´n de la ley de cuantificaci´n de
o
o
o
o
Planck para el oscilador arm´nico, o la de Bohr para el ´tomo de hidr´geno, dentro de un marco
oa
o
te´rico m´s adecuado, sino que tiene una profunda base te´rica que toma como eje b´sico la
o
a
o
a
invariancia bajo trasformaciones adiab´ticas de las variables de acci´n.
a
o

43

Modelos ´tomicos precu´nticos
a
a

La teor´ es de caracter general, y su aplicaci´n pr´ctica posible siempre que puedan separarse
ıa
o
a
las variables en el hamiltoniano problema, en cuyo casoes posible escribir expl´
ıcitamente el
hamiltoniano en t´rminos de las variables de acci´n y llevar la cuantificaci´n a cabo de forma
e
o
o
trivial. El caso m´s notable es el de una part´
a
ıcula moviendose bajo la acci´n de un campo
o
central, equivalente al problema din´mico de dos part´
a
ıculas que interaccionan con una fuerza
que depende s´lo de su distancia relativa.
o
Noscentramos en este ultimo problema, en este caso el hamiltoniano en coordendas esf´ricas
´
e
puede escribirse como
H =

1
1
p2 +
2µ r r 2

p2 +
θ

p2
φ
sin2 (θ)

+ V (r)

(4.26)

En un movimiento de este tipo sabemos que son constantes de movimiento, la componente Lz
del momento angular (componente seg´n el eje polar) que denominamos tercera componente,
u
el cuadrado delmomento angular L2 , y la energ´ total E. Estas cantidades en coordenadas
ıa
esf´ricas pueden escribirse como
e
1
L2
p2 + 2 + V (r) = E,
2µ r
r
p2 +
θ

L2
z
= L2 ,
sin2 (θ)
p φ = Lz ,

(4.27)

˙
˙
Recuerdese que pr = µr, pθ = µr 2 θ, y pφ = µr 2 sin2 (θ)φ. Las relaciones (4.27) muestran que
˙
cada momento es funci´n s´lo de la correspondiente coordenada lo que confirma que el...