Mi trabajo

Universidad Carlos III de Madrid

Señales y Sistemas

LUGAR DE LAS RAÍCES
Lugar de las raíces.
1.
2.
3.
4.
5.

Introducción. Criterios del módulo y argumento.
Gráficas del lugar de las raíces.
Reglas para construir el lugar de las raíces.
Lugar inverso de las raíces.
Lugar de las raíces generalizado. Contorno de las
raíces.
6. Interpretación del lugar de las raíces.

DoloresBlanco, Ramón Barber, María Malfaz y Miguel Ángel Salichs

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Señales y Sistemas

Bibliografía
Ogata, K., "Ingeniería de control moderna", Ed.
Prentice-Hall.
Capítulo 6
Dorf, R.C., "Sistemas modernos de control", Ed.
Addison-Wesley.
Capítulo
Kuo, B.C.,"Sistemas de control automático", Ed.
Prentice Hall.
Capítulo 8
F. Matía y A. Jiménez, “Teoría deSistemas”, Sección
de Publicaciones Universidad Politécnica de Madrid
Capítulo 7

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Señales y Sistemas

CONCEPTO
El lugar de las raíces sirve para estudiar como influye la
ganancia en bucle abierto en el comportamiento
dinámico de un sistema realimentado.
Es una herramienta para elanálisis dinámico de sistemas
realimentados:
Estabilidad
Rapidez del sistema en cadena cerrada al variar k
Oscilaciones

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CONCEPTO
r(t)
+

y(t)

G(s)
H(s)

La función de transferencia en cadena cerrada es:

M (s) =

G (s)
1 + G (s)H (s)

G (s)H (s) = k

∏∏

(s − zi )
(s − pi )

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CONCEPTO
Los polos de M(s) son las raíces de

1+ k

∏
∏

(s − zi )
(s − pi )

= 0

r(t)
+ -

G(s)

y(t)

H(s)

k es proporcional a la ganancia estática
Si modificamos el valor de k, varían los polos de M(s).
(los cerosno varían)
Se denomina lugar de las raíces al lugar geométrico de
los polos de M(s) al variar k desde cero hasta infinito.

Dolores Blanco, Ramón Barber, María Malfaz y Miguel Ángel Salichs

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CONCEPTO

Señales y Sistemas

El lugar de las raíces sirve para estudiar como
influye la ganancia en bucle abierto en el
comportamiento dinámico de un sistemarealimentado.
Es una herramienta para el análisis dinámico de
sistemas realimentados:
Estabilidad
Rapidez
al variar k
Oscilaciones

del sistema en cadena cerrada

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EJEMPLO
k
k
s ( s + 2)
M ( s) =
= 2
k
s + 2s + k
1+
s ( s + 2)
Polos del sistema:

s1 = −1 + 1 − k
s + 2s + k = 0 ⇒ 
s2 = −1 − 1 − k
2

 s =0
(k = 0) ⇒  1
 s2 = −2

 s = −1
(k = 1) ⇒  1
s2 = −1
 s = −1 + 3 j
(k = 10) ⇒  1
 s2 = −1 − 3 j
Dolores Blanco, Ramón Barber, María Malfaz y Miguel Ángel Salichs

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Criterio del módulo y del argumento

Partiendo de la igualdad compleja anterior:

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Criterio del módulo y del argumento

Partiendo de la igualdad compleja anterior:
1+ k

∏ (s − z ) = 0,
∏ (s − p )
i

k

i

∏ (s − z ) = −1
∏ (s − p )
i

i

Criterio del módulo
k

∏ | s − z | = 1,
∏| s − p |

k=

i

i

∏| s − p |
∏| s − z |
i

iCriterio del argumento

∑ arg( s − z ) − ∑ arg( s − p ) = ( 2q + 1)π
i

o también

i

∑ arg( s − p ) − ∑ arg( s − z ) = ( 2q + 1)π
i

i

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CRITERIO DEL ARGUMENTO
∏ (s − z ) = 0
1+ k
∏ (s − p )
i

∏ ( s − z ) = −1
k
∏ (s − p )

⇒

i

i

i...