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LAS ECONOMÍAS CON UN CONJUNTO FINITO DE EQUILIBRIOS '
POR GERARD DEBREU
Un modelo matemático que intenta explicar el equilibrio económico debe tener un conjunto no vacío de soluciones. También desearía que la solución sea única. Esta propiedad de unicidad, sin embargo, se ha obtenido sólo bajo supuestos fuertes, y como vamos a destacar a continuación, las economías con equilibrios múltipleshan de preverse. Tales economías todavía parecen proveer una explicación satisfactoria de equilibrio, así como una base satisfactoria para el estudio de estabilidad siempre que todos los equilibrios de la economía sean localmente únicos. Pero si el conjunto de equilibrios es compacta (una situación común), la singularidad local es equivalente a la finitud. Por tanto, uno es llevado a investigarlas condiciones en que una economía tiene un conjunto finito de equilibrios.
Ahora ejemplos no patológicos de las economías con un número infinito de equilibrios fácilmente se pueden construir en el caso del puro intercambio de dos mercancías entre dos consumidores. Por lo tanto, en el mejor puede demostrar que fuera de un pequeño subconjunto del espacio de las economías, cada economía tiene unconjunto finito de equilibrios. Para la definición precisa de "pequeña" en este contexto, se podría pensar en "nulo" con respecto a una medida apropiada en el espacio de las economías. Este conjunto nulo, sin embargo, podría ser denso en el espacio y se requiere una definición más estricta. Nuestro resultado principal afirma que, bajo supuestos explícitos, fuera un subconjunto nulo cerrado delespacio de las economías, cada economía tiene un conjunto finito de equilibrios.
La herramienta matemática clave en la prueba de ello es el teorema de Sard que ahora nos planteamos. Sea U un subconjunto abierto de R(a)

Sea U un abierto de R° y sea F una función continuamente diferenciable de U a R(b). Un punto x que pertenece a U es un punto crítico de F si la matriz jacobiana de F en x tiene unrango menor que b. Un punto “y” que pertenece a Rb es un valor crítico de F si hay un punto crítico en x que pertenezca a U con y = F (x). Un punto de Rb es un valor regular de F si no es un valor crítico.
El teorema de Sard: Si todas las derivadas parciales de F a la orden cth incluidos, donde c> max (O, a - b), existen y son continuas, entonces el conjunto de valores críticos de F tienemedida de Lebesgue cero en Rb.
Las economías que consideramos son economías de intercambio puro con L productos básicos y m consumidores cuyas necesidades y preferencias son fijos y cuyos recursos pueden variar.

Sea L el conjunto de los números reales estrictamente positivos, P el conjunto de vectores estrictamente positivos en R '(es decir, el conjunto de vectores en R' que tienen todos suscomponentes estrictamente positivos), y S el conjunto de vectores en P para que la suma de los componentes es la unidad. Es conveniente para especificar las preferencias del consumidor ith por medio de su función de demanda f, una función de S x L a P tal que para cada (p, WI) que pertenece a S x L, uno tiene p * f (p, WI) = wi, donde el punto denota el producto interno en R '. Dado el vector deprecios p en S y su wi riqueza en L, el consumidor ith exige el vector de los productos básicos f (p, wi) en el cono P positiva cerrado de R '. Después de haber elegido una norma en la que R ', se introduce un supuesto que se hizo por algún consumidor en el teorema, para todos los consumidores en la proposición:

Asunción (A) expresa la idea de que toda mercancía es deseada por el i-ésimoconsumidor.
Una economía se define por un m-tupla de funciones de demanda y una tupla de de los vectores en P. Dado que se mantienen las funciones de demanda fija, una economía es de hecho definido por w que pertenece a Pm . Dada w que pertenece a Pm, un elemento p de S es un vector de precios de equilibrio de la economía w si,

Denotamos por W (w)) el conjunto de p que satisface esta igualdad....