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Teoremas del seno y coseno
Dado un triangulo
rectángulo cualquiera la
proyección de uno de
sus vértices sobre la
arista opuesta lo separa
en dos triángulos
rectángulos.
Como se puede apreciarla
altura
proyectada
corresponde al producto
del segmento C por el
seno de α y por lo tanto
la base b se puede
separar en la suma de el
prducto del segmento C
por el coseno de α y sudiferencia con la medida de b , ( b − c ⋅ cos (α ) ) .
Aplicando el teorema de Pitágoras se puede determinar que el segmento a es
equivalente a la raíz de la suma de los cuadrados de los lados de loscatetos
correspondientes, por ende
a 2 = ( c ⋅ sen (α ) ) + ( b − c ⋅ cos (α ) )
2

Es decir
Ordenando la idea

2

a 2 = c 2 sen 2 (α ) + b 2 − 2bc cos (α ) + c 2 cos 2 (α )

a 2 = c 2 sen 2(α ) + c 2 cos 2 (α ) + b 2 − 2bc cos (α )
a 2 = c 2 ( sen 2 (α ) + cos 2 (α ) ) + b 2 − 2bc cos (α )
1

De donde

a 2 = c 2 + b 2 − 2bc cos (α )

Del mismo modo, por las correspondientesproyecciones se determina que
b 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos ( β )

Y

c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos ( γ )

Queda al estudiante desarrollar estos dos casos

Profesor Eduardo Flores

1

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Analicemos el siguiente caso

La altura h se puede escribir como c sen (α ) y como a sen ( γ ) por ende ambas
expresiones son iguales

a sen ( γ ) = c sen (α )Entonces

a
c
=
sen (α ) sen ( γ )
Aplicando la misma lógica se llega a que las relaciones entre los lados y los
ángulos pertinentes se puede escribir como

a
b
c
=
=
sen (α ) sen ( β ) sen (γ )
Comprueba esto al relacionar las alturas de cada vértice por separado.

Profesor Eduardo Flores

2

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Ejercicios y ejemplos
Sabemos que

x2 = 122 + 302 − 2 ⋅ 12 ⋅ 30 cos ( 60° )
x 2 = 144 + 900 − 360
x = 684

En este caso la situación es similar

402 = 152 + x 2 − 2 ⋅ 15 ⋅ x ⋅ cos ( 60° )

1600 = 225 + x 2 − 15 x
Ordenando...