Microeconomia

Ayudantía 3
Problema 1
Dibuje las isocuantas y encuentre la función de costos correspondiente para cada una de las
siguientes funciones de producción:

a) q=Z1α1Z2α2
b) q=α1z1+α2z2
c) q=α1z12+α2z22

Para cada caso, explique cómo son los retornos a escala. Considere que los precios para Z1 y Z2
son r y w respectivamente.
Problema 2
Una empresa tiene una función de producción por suservicio final Q del tipo Q=min(K,L/2). Los precios pos los factores de producción son fijos y son, respectivamente, v y w. El precio por servicio final Q es P=cte.
En el LP:

a) Obtener la función de costos a LP de la empresa
b) Obtener las demandas condicionadas de factores de LP
c) Obtener la función de beneficios de la empresa y la función de oferta.

Si en el CP no se puede variar lacantidad de capital, K, que la empresa dispone.

d) Obtener las demandas condicionadas de factores y la función de oferta de CP de la empresa. Obtener la función de beneficios de CP de la empresa y su oferta.
Problema 3
La función de utilidad está dada por U=X11/2X21/2, el precio del bien 1 es 1 y el precio del bien 2 es 1 y el presupuesto del consumido es 20.
a) Encuentre la demandamarshalliana del bien 1
b) Encuentre la demanda marshalliana del bien 2
c) Encuentre el optimo del consumidor y el nivel de utilidad obtenido
d) Si el precio del bien 1 baja a 0.5 estime el cambio en el bienestar mediante la variación compensada
e) Si el precio del bien 1 baja a 0.5 estime el cambio en el bienestar mediante la variación del equivalente
f) Si el precio del bien 1baja a 0.5 estime el cambio en el bienestar mediante la variación del excedente del consumidor.

Solucion
Problema 1
a) q=Z1α1Z2α2 esta es una función Cobb-Douglas

Isocuantas:

Función de costos: Cr,w,q0=minrZ1+wZ2s.a. Z1α1Z2α2=q0
Construiremos el lagrangeano
LZ1,Z2,λ= rZ1+wZ2-λ(Z1α1Z2α2-q0)
KKT
∂L∂Z1=r-λα1Z1α1-1Z2α2=0
∂L∂Z2=w-λα2Z1α1Z2α2-1=0
∂L∂λ=Z1α1Z2α2-q0=0
De las primeras2 obtenemos:
rw=α1α2Z2Z1
Con lo cual
Z2=rwα2α1Z1
Z1=wrα1α2Z2
Usando la ultima restricción obtenemos
Z1*=[q0α1α2α2wrα2]1α1+α2
Z2*=[q0α2α1α1rwα1]1α1+α2
Para obtener la función de costos remplazamos
Cr,w,q0=q01α1+α2rα1α1+α2wα2α1+α2α1α2α2α1+α2+α2α1α1α1+α2
Rendimientos a escala
ftZ1,tZ2=tZ1α1tZ2α2=tα1+α2Z1α1Z2α2=tα1+α2f(Z1,Z2)
Por lo tanto si α1+α2>1 Creciente
α1+α2<1Decreciente
α1+α2=1 Constante
b) q=α1Z1+α2Z2
Isocuantas

La solución de minimizar costos será una solución esquina por lo tanto tendremos dos opciones
I. rw>PMgZ1PMgZ2=α1α2
En este caso tendremos lo siguiente:
Z1*=0
Z2*=q0α2
II. rw>PMgZ1PMgZ2=α2α1
En este caso tendremos lo siguiente
Z1*=q0α1
Z2*=0
Ecuación de costo
I. Cr,w,q0=wq0α2
II. Cr,w,q0=rq0α1Rendimientos a escala
ftZ1,tZ2=α1tZ1+α2tZ2=tα1Z1+α2Z2=tfZ1,Z2
Tiene rendimientos constante
c) q=α1z12+α2z22
Isocuantas

Función de costos: Cr,w,q0=minrZ1+wZ2s.a. α1Z12α2Z22=q0

Construiremos el lagrangeano
LZ1,Z2,λ= rZ1+wZ2-λ(α1Z12α2Z22-q0)
KKT

∂L∂Z1=r-2λα1Z1=0
∂L∂Z2=w-2λα2Z2=0
∂L∂λ=α1Z12α2Z22-q0=0
De las primeras 2 obtenemos:
rw=α1α2Z2Z1

Con lo cual
Z2=rwα2α1Z1Z1=wrα1α2Z2
Usando la ultima restricción obtenemos
Z1*=q0α1+wα1rα22α212
Z2*=q0α2+rα2wα12α112
Para obtener la función de costos remplazamos
Cr,w,q0=q012rα1+wα1rα22α212+wα2+rα2wα12α112
Rendimientos a escala
ftZ1,tZ2=t2fZ1,Z2
Como t >1 tiene rendimientos creciente
Problema 2
CTLP=minvk+wls.a Q=minK,L2
a)

En el óptimo tendremos que L2=K=Q
Con lo cual CTLP=vQ+2Qw
b) Usando el Lema deShephard obtenemos la demanda condicionada de factores
L*=∂C∂w=2Q K*=∂C∂v=Q
d) πQ,P,v,w=PQ-Q(v+2w)
Para encontrar el máximo derivamos e igualamos a 0
∂π∂Q=P-v+2w=0
Con lo cual
P=v+2w
En este caso P es simplemente la oferta, no depende de Q

e) En el corto plazo sabemos que K se mantiene constante con lo cual el problema cambiaría al siguiente
minvk+wls.a Q=minK,L2...