Microeconomia

Incompletísimo y poco riguroso manual de matemáticas
y microeconomía
Federico A. Todeschini∗
Octubre 2010

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Resumen de Matemáticas

1.1

Transformación Monotónicamente Creciente

Una transformación monotónicamente creciente altera los valores sin cambiar el orden. O sea, si
tenemos que z > y y le aplicamos la función f (), esta será una transformación monotónicamente
creciente síy sólo sí f (z ) > f (y ). Un posible ejemplo de este tipo de transformaciones es la
función f (x) = x + 10. Por ejemplo, si tenemos z=18 y y=10, f (z ) = 18 + 10 = 20 > f (y ) =
10 + 10 = 20. Otros posibles ejemplo es f (x) = x3 o f (x) = 2x. La función f (x) = x2 es
monotónicamente creciente sólo si x ≥ 0.

1.2

Convexidad

Una función f (x1 , x2 ) es convexa si la combinación linealentre las coordenadas (y1 , y2 ) y (z1 , z2 ),
para las cuales f (y1 , y2 ) = f (z1 , z2 ), (w1 , w2 ) = α(y1 , y2 ) + (1 − α)(z1 , z2 ) con α (0, 1). Esto es,
f (w1 , w2 ) > f (y1 , y2 ) y f (w1 , w2 ) > f (z1 , z2 ). En términos económicos esto quiere decir que si
las preferencias son convexas, preferiremos cualquier cesta que esté en el medio de los extremos. Si
las funciones son débilmenteconvexas, entonces f (w1 , w2 ) ≥ f (y1 , y2 ) y f (w1 , w2 ) ≥ f (z1 , z2 ),
o sea, la cesta del medio es al menos tan buena como la de los extremos. Finalmente, si la función
es no convexa tendremos que f (w1 , w2 ) < f (y1 , y2 ) y f (w1 , w2 ) < f (z1 , z2 )
• Ejemplo de funciones convexas: f (x1 , x2 ) = x1 ∗ x2 o f (x1 , x2 ) = log (x1 ) + log (x2 ).
∗

No utilizar fuera del horarioescolar....todeschini@merlin.fae.ua.es

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• Ejemplo de funciones débilmente convexas: f (x1 , x2 ) = x1 + x2
• Ejemplo de funciones débilmente convexas: f (x1 , x2 ) = x2 + x2
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1.3

Derivadas

Vamos a poner algunos ejemplos de derivadas. Si la función es f (x) = a ∗ xb entonces su derivada,
que anotaremos
derivada será

df
dx

df
dx

= a ∗ b ∗ xb−1 . Por ejemplo si lafunción fuese f (x) = 2 ∗ x3 , entonces su

= 2 ∗ 3 ∗ x( 3 − 1) = 6 ∗ x2

Cuando tengamos más de una variable, utilizaremos algo que se denomina derivada parcial. Por
ejemplo si la función es f (x, y ) tendremos la derivada parcial con respecto a x,
parcial con respecto a y,

ϕf
.
ϕx

ϕf
y
ϕx

la derivada

La idea de la derivada parcial es asumir que todo lo demás es constante

ysolamente cambia una de las variables. De este modo, si la función es f (x, y ) = C ∗ xa y b ,
entonces

2

ϕf
ϕx

= c ∗ a ∗ xa−1 y b y

ϕf
ϕx

= c ∗ b ∗ xa y b−1

Demanda

2.1

Resumen restricción presupuestaria

La restricción presupuestaria es p1 x1 + p2 x2 = m donde m es nuestra renta y p1 y p2 son los precios
de los bienes x1 y x2 respectivamente. Dado m,

m
p1

esla cantidad máxima que podemos comprar

del bien x1 (en cuyo caso obviamente compramos cero del bien x2 ) y

m
p2

es la cantidad máxima de

x2 con x1 = 0. La pendiente de la recta presupuestaria es − p1 y su significado es la cantidad de x2
p2
que TENGO que dejar de consumir si quiero consumir una unidad más de x1 . Esto es lo que manda
el mercado.
No siempre es única la pendiente dela restricción presupuestaria. Si, por ejemplo, a partir de
determinado nivel de consumo tenemos un descuento o un recargo, entonces tendremos más de
una restricción. Supongamos que x1 es el bien sobre el que se aplica el descuento s euros cuando
x1 > x1 . Entonces tendremos que la restricción será
¯

Restricción Presupuestaria =

p 1 x1 + p 2 x2 = m

si x1 ≤ x1
¯

p1 x1 + (p1 −s)(x1 − x1 ) + p2 x2 = m
¯
¯

si x1 > x1
¯

Supongamos que m=100, p1 = 10 y p2 = 20 y que si compramos más de 5 unidades de x1 nos
descuenta 2 euros del precio de la 6 unidad en adelante (o sea, p1 = 8).

2

Restricción Presupuestaria =

10x1 + 20x2 = 100

si x1 ≤ 5

10 × 5 + (10 − 2)(x1 − 5) + 20x2 = 100

si x1 > 5

Restricción Presupuestaria =

10x1 + 20x2 = 100

si x1 ≤...