Microorganismos

RIEMANN
Riemann mencionó la conjetura, que sería llamada la hipótesis de Riemann, en su artículo de 1859 Sobre los números primos menores que una magnitud dada, al desarrollar una fórmula explícita para calcular la cantidad de primos menores que x. Puesto que no era esencial para el propósito central de su artículo, no intentó dar una demostración de la misma. Riemann sabía que los ceros notriviales de la función zeta están distribuidos en torno a la recta s = 1/2 + i t, y sabía también que todos los ceros no triviales debían estar en el rango 0 ≤ Re(s) ≤ 1.3
En 1896, Hadamard y de la Vallée-Poussin probaron independientemente, que ningún cero podía estar sobre la recta Re(s) = 1. Junto con las otras propiedades de los ceros no triviales demostradas por Riemann, esto mostró que todoslos ceros no triviales deben estar en el interior de la banda crítica 0 < Re(s) < 1. Este fue un paso fundamental para las primeras demostraciones del teorema de los números primos.
En 1900, Hilbert incluyó la hipótesis de Riemann en su famosa lista de los 23 problemas no resueltos — es parte del problema 8 en la lista de Hilbert junto con la conjetura de Goldbach. Cuando se le preguntó quéharía si se despertara habiendo dormido quinientos años, remarcablemente Hilbert contestó que su primera pregunta sería si la hipótesis de Riemann había sido probada. La hipótesis de Riemann es el único problema de los que propuso Hilbert que está en el premio del milenio del Instituto Clay de Matemáticas.
En 1914, Hardy demostró que existe un número infinito de ceros sobre la recta crítica Re(s)= 1/2. Sin embargo todavía era posible que un número infinito (y posiblemente la mayoría) de los ceros no triviales se encontraran en algún otro lugar sobre la banda crítica. En trabajos posteriores de Hardy y Littlewood en 1921 y de Selberg en 1942 se dieron estimaciones para la densidad promedio de los ceros sobre la línea crítica.
Trabajos recientes se han concentrado en el cálculo explícitode la localización de grandes cantidades de ceros (con la esperanza de hallar algún contraejemplo) y en el establecimientos de cotas superiores en la proporción de ceros que puedan estar lejos de la línea crítica (con la esperanza de reducirlas a cero).

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Definición
La función zeta de Riemann ζ(s) está definida de la siguiente manera:

Paratodos los números complejos s ≠ 1, se puede prolongar analíticamente mediante la ecuación funcional:

Esta posee ciertos valores, llamados ceros "triviales" para los cuales la función zeta se anula. De la ecuación se puede ver que s = −2, s = −4, s = −6, ... son ceros triviales. Existen otros valores complejos s comprendidos entre 0 < Re(s) < 1, para los cuales la función zeta también seanula, llamados ceros "no triviales". La conjetura de Riemann hace referencia a estos ceros no triviales afirmando:
La parte real de todo cero no trivial de la función zeta de Riemann es 1/2 |
Por lo tanto los ceros no triviales deberían encontrarse en la línea crítica s = 1/2 + i t donde t es un número real e i es la unidad imaginaria. La función zeta de Riemann, a lo largo de la línea crítica hasido estudiada en términos de la función Z, cuyos ceros corresponden a los ceros de la función zeta sobre la línea crítica.

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Hipótesis de Riemann

En matemática pura, la hipótesis de Riemann, formulada por primera vez por Bernhard Riemann en 1859, es una conjetura sobre la distribución de los ceros de la función zeta de Riemann ζ(s).1
Lahipótesis de Riemann, por su relación con la distribución de los números primos en el conjunto de los naturales, es uno de los problemas abiertos más importantes en la matemática contemporánea.
Se ha ofrecido un premio de un millón de dólares por el Instituto Clay de Matemáticas para la primera persona que desarrolle una demostración correcta de la conjetura.2 La mayoría de la comunidad matemática...