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Olimpiada Matemáticas Nivel III  (3º ‐ 4º ESO)

OLIMPIADA MATEMÁTICAS NIVEL III (3º - 4º ESO)

16. Encima de un triángulo equilátero de lado 3 cm, colocamos un
círculo de 1 cm de radio, haciendo coincidir los centros de ambas
figuras. ¿Cuánto mide el perímetro o borde la figura resultante?

A) 2 π

B) 6 + π

C) 9

D) 3 π

E) 9 + 2 π

Solución:

Se ve unaparte de la circunferencia que equivale a 180º, es
2 1

decir, un perímetro
2
Al ser triángulos equiláteros, cada lado mide 1 cm.

La parte que se ve en cada lado del triángulo grande es de 2 cm.
El borde de la figura resultante es de 6 + π cm

17. El punto O es el centro de un círculo de radio 1, OA y OC son
radios y OABC es un cuadrado. ¿Cuál es el área, en unidades
cuadradas, dela región sombreada?

A) 1 -

π
4

B) 1 -

π
2

C)

1-π
4

Solución:
1

D) 2 -

π
2

E) 2 -

π
4

Área región sombreada: A 

1 
Áreacuadrado  Áreacirculo 
4

Área región sombreada: A 

1 2

2   . 12   1 


4
4

18. Cada uno de los lados de este octógono regular mide 2 cm.
¿Cuál es la diferencia entre el área de la región sombreada yel
área de la región sin sombrear?

A) 2 2

C)

B) 2

3
2

D) 1

E) 0

Solución:
Los triángulos rectángulos isósceles (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, y 8) son
iguales. Los rectángulos A, B, C y D son iguales.
En consecuencia, la región sombreada y no sombreada son iguales
y tienen el mismo área.

La diferencia entre las dos áreas es 0

19. P y Q son los puntos medios de los lados delcuadrado de
perímetro 4 cm. El área del rectángulo sombreado de la figura,
está comprendida entre:

A)

1
5
y
4
16

B)

5
3
y
16
8

C)

3
7
y
8
16
2

D)

7
1
y
16
2

E) Más de

1
2

Solución:
Para calcular el área del rectángulo sombreado basta hallar la
diferencia entre el área del cuadrado y el área de los cuatro
rectángulos (iguales dos a dos).
Eltriángulo grande y pequeño son semejantes por tener sus
ángulos iguales.

2

La hipotenusa del triángulo grande QBC; BQ 

5
1
1  
cm
2
2

Para hallar AP se establece una relación de equivalencia:
con lo que, AP 

1
5

En consecuencia, AB 

2
1  1 
 
  
 2   5 

1 1
 
4 5

1
1
1
1
.
.

cm2
2 2 5
20
5

El área del triángulogrande BCQ :

1
1 1
. 1 .  cm2
2
2 4

 1
1
El área del rectángulo: 1  2 
  12
 20 4 


BP
AP



1
1

cm (mitad de AP )
20 2 5

El área del triángulo pequeño BPA:

2 6, 4

5 16

BC



1
2  2
1
AP

cm .
2

Siendo

BQ

5

6 
6
4 2

 cm2
  1
20
10
10
5
 

3
2
7


8
5
16

20. El diámetro del semicírculogrande y el radio del cuadrante
miden ambos 2 cm. ¿Cuál es, en cm, el radio del semicírculo
pequeño?

3

A)

2


B)

7
10

C)

2
3

D)


2

E)

2
2

Solución:
El punto de tangencia de dos circunferencias se encuentra en el
segmento que une sus centros, formando el triángulo rectángulo
CBA, siendo los tres vértices (C, A, B) los centros de las trescircunferencias.

CA  x  1

AB  1

BC  2  x

Aplicando el teorema de Pitágoras:
(1  x)2  12  (2  x)2



1  x 2  2 x  1  4  x2  4 x



x

2
3

21. En la figura se muestra un cuadrado de lado 1 y cuatro
semicírculos iguales mutuamente tangentes. ¿Cuál es el área de la parte
rayada?

A)


2

B) 1 


4

C) 4  

D)

2


2 2

E) NingunoSolución:

El punto de tangencia de dos circunferencias se encuentra en el
segmento que une sus centros, formando un triángulo rectángulo.
Todos los vértices son centros de circunferencias.

El diámetro formado al unir los centros de dos circunferencias:
2

d

2

1 1
    
2 2

1 1
 
4 4

1
1

2
2

4

El radio de una semicircunferencia: r 

1
2 2

El...