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UNIDAD 4
LA ELIPSE, LA CIRCUNFERENCIA Y SUS
ECUACIONES CARTESIANAS
PROPÓSITOS: Reafirmar el método analítico al obtener las ecuaciones de la
elipse y la circunferencia y avanzar en el reconocimiento de formas y estructuras,
en la formulación de conjeturas y en la resolución analítica de problemas de corte
euclidiano.
INTRODUCCIÓN.
En esta y siguiente unidad se tratan tres de las curvas llamadascónicas. El origen
del nombre y las curvas se remontan a la civilización griega alrededor del siglo III
a. C. Fue Apolonio de Perga (262 – 200 a.C. astrónomo talentoso) quien escribió
sobre una gran variedad de temas matemáticos, su fama esencialmente se debe a
sus escritos sobre las secciones cónicas en donde el método utilizado está mucho
más próximo a los métodos de la geometría analítica actualque a los métodos
puramente geométricos de su época. Los griegos obtuvieron las curvas al cortar
conos (de arcilla) con cuchillos, los nombres elipse e hipérbola los utilizó
Apolonio, y fue Arquímedes (287 – 212 a. C) el que utilizó el de parábola. Los
nombres fueron utilizados anteriormente por los pitagóricos (siglo VI a.C.) al
resolver ecuaciones cuadráticas por el uso de áreas.

ElipseCircunferencia

Hipérbola

Parábola

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SECCIÓN 1. LA ELIPSE COMO LUGAR GEOMÉTRICO
Se pretende que reconozcas a la elipse como lugar geométrico, que a partir de su
trazo determines algunas de sus propiedades así como sus elementos de mayor
importancia.
Existen varios métodos para trazar una elipse, entre ellos esta el llamado “método
del jardinero” que consiste en lo siguiente:
ACTIVIDAD 1.
En unacartulina, cartón o cualquier material donde puedas insertar un par de
“chinches”, “tachuelas“ o “clavos”, colócalos a una distancia de 10 a 15cms. sujeta
en ellos un cordón de más de 15cms. de largo. Después con la punta de un lápiz y
manteniendo el cordón tenso, podrás trazar una figura como la que se muestra.
P’

clavo 1

P

clavo 2

P’’
Te podrás dar cuenta que:
1) Para cualquier punto P en lacurva, ¿la suma de distancias de P a cada una
de los “clavos” es igual a: ______________________________?
2) Traza varios casos acercando o alejando los “clavos”:
¿siempre se obtiene una elipse? ________
¿qué curva se forma si los “clavos” coinciden? _____________________
¿qué curva se forma cuando alejas los “clavos” al máximo? ___________

La respuesta del inciso (1) nos permite observar lapropiedad que cumplen todos
los puntos de la elipse.
La elipse es el conjunto de puntos, tales que la suma de las distancias de un punto
a cada uno de los “puntos” fijos es constante, cuya longitud es la del cordón.
Actividad de investigación: ¿Existirá algún método de trazar elipses con regla y
compás? ¿Cuál será el método más sencillo de trazar elipse?
Si colocamos la figura anterior en un planocartesiano se podrán determinar las
partes o elementos de la elipse:

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La ubicación más sencilla es la siguiente: se traza el eje de abscisas sobre los
puntos fijos y el eje de ordenadas se traza perpendicularmente al eje de abscisas
por el punto medio entre los puntos fijos. Observa que la figura así trazada queda
simétrica con respecto de los dos ejes.
B

A’

F’

P’

P

F

P’’

A

B’

Lee concuidado y completa las proposiciones:
Los puntos fijos se denominan focos y se les asociarán las coordenadas F(c, 0) y
F’(-c, 0). La distancia entre los focos es _______.
El punto medio entre los focos es el centro de la elipse, en este caso el centro
tiene coordenadas _____.
Los puntos de intersección de la elipse con los ejes de coordenadas se
denominan, vértices de la elipse:
En las elipses, a losvértices que están sobre el mismo eje que los focos se les
denomina vértices del eje mayor y tienen asociados las coordenadas: A(a, 0) y
A’(-a, 0). De manera que la longitud del eje mayor será ____________.
Los vértices que no estén en el mismo eje que los focos serán los vértices del eje
menor y sus coordenadas asociadas serán B(0, b) y B(0, -b). De manera que la
longitud del eje menor será...