Miinmos cradrados

2 Las propiedades de los estimadores de MCO
Dados los supuestos del modelo clásico de regresión lineal, los valores estimados de MCO poseen algunas propiedades ideales o óptimas. Estas propiedadesestán contenidas en el teorema conocido como teorema Gauss-Markov.
Teorema Gauss-Markov: Dados los supuestos del modelo clásico de regresión lineal, los estimadores de mínimos cuadrados son:Lineales
Insesgados
Varianza Mínima
Es decir, son, MELI.
3 Los estimadores son lineales e ins- esgados
Partiendo de los estimadores:
= En=i(xi - x)(yi - y) ^ w y 1 En=i(Xi - x)2 ¿i iyi
n
^0 = y -/3ix ^ X] ziyi
i=1
donde Wi = (xi — X)^ Yl^n=l(xi — X)2. Substituyendo el valor de yi, tenemos que los estimadores son una combinación lineal de Ui, ya que:
n
^1 = ^ i^Y. wiui i=1
n
/3o = ^0 ^ziui i=1
I. Usando el supuesto E(ui) = 0, tenemos que los estimadores son insesgados, por lo que:
E(/o) = /o E(/i) = /i
4 La varianza y errores estándares de los mínimos cuadrados
2
2
Deacuerdo a la definición de la varianza, se puede escribir que,
2
2
var(/i) = E [/3i — E (/3i)]
E [/i — ^ i.
2
2
2wiW2UiU2
2wiW2UiU2
22
wn Un
22
wn Un
n
E [/1 ^ Y. WiUi - /1 i=i
n
2
E^ WiUi. i=1
2 2 2 2 E [w]_U2 + W2U2
n
E [/1 ^ Y. WiUi - /1 i=i
n
2
E ^ WiUi. i=1
2 2 2 2 E [w]_U2 + W2U2

II. Teniendo por supuestos E (u2) = ^2 para cada i y E(Ui,Uj) = 0 para toda i =j se deduce que,
- a2
2
2
var(/3i) :
En=i(xi—x)
Similarmente,
2
./V a o
Var(/0) = + x2Var (/i)
n
5 Estimación de a2
La varianza del error, a2, no es observable. Es posible derivarun estimador de a2 a través de los residuales. Los puntos dispersos de los residuales alrededor de la la línea de regresión reflejarán el error no observable al rededor de la línea Yi = /0 + /ixi- Engeneral el valor del residual y del error son diferentes, pero utilizaremos la Var(U¿i) (que es observable) para guiarnos acerca de la a2, la cual no podemos observar. Por lo que,
Ei u2 _ SRC
Var...