Millones

Instituto Tecnológico Superior
De Alvarado

Unidad 3

Simulación

Ing. Elena Gonzales Peña.

José Rodolfo Valencia Ochoa.

12 de Abril del 2011
Introducción

Existen varios métodos que nos permiten generar variables aleatorias. Lo normal es que existan varias opciones para generar una misma variable aleatoria. La elección del método adecuado se puede basar en una serie de factorescomo:

Exactitud. Se prefiere un método exacto frente a métodos aproximados, como soluciones numéricas.
Velocidad. Uno de los datos que se toma en consideración es el tiempo de generación de la variable.
Espacio. Necesidades de memoria del método utilizado. En general, los métodos no consumen mucha memoria.
Simplicidad.

Objetivo

Dar a conocerlos conceptos y habilidades para laelaboración de Proyectos de Simulación, recorriendo el proceso en su completitud. Comenzando por las metodologías para la construcción de modelos (generales), revisando los conceptos básicos y fundamentales para el desarrollo de software de simulación, utilización de Sistemas comerciales/académicos, hasta lograr el uso de los datos arrojados por una Simulación para la toma de decisiones.

Método dela transformación inversa
Sea X una variable aleatoria con función de distribución FX(x).

Por resultados básicos de probabilidad, se tiene que U=FX(X) es una variables aleatoria y sigue una distribución U(0,1). A continuación veremos un resultado recíproco. Previamente, establecemos la siguiente notación: dado , se define

Si y F es una función de distribución, entonces X=F-1(U) tienefunción de distribución F.

Demostración:
(i) Nótese en primer lugar que

(ii) Veamos que .
"" Sea (u,x) un elemento del primer conjunto.

Luego (u,x) está en el segundo conjunto.

"" Sea ahora (u,x) un elemento del segundo conjunto.

Por lo tanto, (u,x) pertenece al primer conjunto.

(iii)

La última igualdad por tratarse de una variable uniforme en el intervalo (0,1).Q.E.D.

Así se tiene el siguiente método de la transformación inversa:
1.
Genérese ui.
2.
Hágase xi=FX-1(ui).

Ejemplo:

Ejemplo:

Ejemplo: variables aleatorias independientes con la misma función de distribución FX y

Sin embargo, este método presenta problemas cuando no es posible obtener FX-1 de forma explícita (por ejemplo, en la distribución normal).

Método de aceptacióny rechazo
Sea X una variable aleatoria con función de densidad . Supóngase que f(x)=Cg(x)h(x) con C una constante, , y h(x) una función de densidad en I. Si e Y (con función de densidad h) son independientes, entonces

Demostración:

Q.E.D.
Algoritmo de aceptación y rechazo:
1.
Se genera y un valor y de la variable Y (de forma independiente).
2.
Si u>g(y), se va al paso 1.3.
Si , entonces se hace x=y.
Ahora interesa conocer cuál es la probabilidad de que en una iteración concreta se rechace el valor generado:

Como el número de iteraciones del método hasta aceptar un valor sigue una distribución geométrica de parámetro (cuya esperanza es C), entonces si queremos optimizar el método habrá que intentaar que C sea próxima a uno y que h sea sencilla de generar.Si hacemos , entonces buscamos que sea . Se tendrá

Como coincide con h salvo la constante y h es una función de densidad en I, entonces también se tiene que cumplir que sea finita.

Caso particular:
f acotada, definida en un intervalo [a,b] acotado

Sea en I=[a,b].

En este caso tomamos . Así

H-1(u)= a + (b-a)u.

Además,

El algortimo resultante es:
1.
Genérese u1,de forma independiente.
2.
Si Mu1 > f(a+(b-a)u2), entonces se vuelve al paso 1. En caso contrario, se hace x=a+(b-a)u2.
Ejemplo:

En este caso [a,b]=[-R,R], por lo que , pues f alcanza su máximo en x=0. Tratemos de simplificar el test de aceptación .

si y sólo si

si y sólo si

si y sólo si

La probabilidad de aceptación es

Ejemplo: . La función es función de...