Min Del Gasto

Minimización del Gasto
Minimización
Microeconomía
Douglas Ramírez Vera

El problema inicial
•

Supongamos que la función de utilidad es continua
U(x,y), supongamos que las preferencias
satisfacen los supuestos de completitud e
insaciabilidad local y supongamos un conjunto
presupuestario semiconvexo y compacto.
• Entonces consideremos los siguientes problemas.
• Problema I⇒Máx. U(x,y); s.a:pxx+pyy≤M
• Problema II⇒min. pxx+pyy ; s.a. U(x,y)≧u*

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Teoremas
• Teorema: La maximización de la utilidad implica la
minimización del gasto para un nivel de precios e
ingresos.
– Supongamos que se satisface los supuestos anteriores,
Sea (x*,y*) la solución del problema I , entonces
u=U(x*,y*), en este caso (x*,y*) es la solución del
problema II.

• Teorema: La minimización del gasto implica lamaximización de la utilidad para un nivel de utilidad
y precios.
– Supongamos que se satisfacen los supuestos anteriores y
que el par (x*,y*) es la solución al problema II.
– Sea M= pxx+pyy; supongamos que M>0. En este caso,
(x*,y*), es la solución del problema I.

Maximización de la utilidad
•

Consideremos el problema I de maximización del
bienestar formulemos el Lagrange.
L(x,y)=U(x,y)+λ(m-pxx-pyy)∂L(x,y) /∂x= ∂U(x,y) /∂x-λpx=0
∂L(x,y) /∂y= ∂U(x,y)/∂y-λpy=0
∂L(x,y) /∂λ= m-pxx-pyy=0

• De las condiciones de primer orden se tiene
λ={[∂U(x,y) /∂x]/px}={[∂U(x,y) /∂y]/py}
RMSy,x=[UMgy/UMgx] =[px/py]

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El problema de Maximización
consumidor
Y

y*

A
U1

U0
x*

U2

X

El punto A representa el máximo nivel de utilidad que puede
obtener una persona, dada la restricción presupuestaria

LaMinimización del Gasto
• Sea el problema II de minimización del gasto, para
ello formulemos el Lagrange
• Z(x,y)=pxx+ py y- [U(x,y)-u]
• CNPO
∂Z(x,y)/∂x = -μUx + px =0, Solución es : μ=px/Ux
∂Z(x,y)/∂y= -μ Uy + py=0, Solución es : μ=py/Uy
∂Z(x,y)/∂μ=U(x,y)-u=0, Solución es : {u=U(x,y)}
•

Como
μ=(px/Ux)= μ = (py/Uy) =(1/λ) ⇒
(px/py)=(Ux/Uy) ≡ RMSy,x

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Las cestas de consumo
• De aquí que la elección de lacesta (x*,y*)
minimizadora del gasto debe encontrarse en el
punto de tangencia de la recta presupuestaria y
la curva de indiferencia que genera el máximo
nivel de utilidad o bienestar.
• Como este es el mismo punto de elección que
maximiza la utilidad de nuestro problema inicial,
el problema dual de minimización del gasto genera
las mismas cantidades de demanda que se
obtienen en el problemainicial, pero las funciones
de demandas son compensadas o hicksianas.

El problema de minimización del
gasto del consumidor
Y
E3
B
y*

E2

A
C

x*

E1
X

El dual del problema de maximización del bienestar del consumidor
es alcanzar un determinado nivel de utilidad (u) con el menor gasto
posible

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Demanda compensada
• La demanda compensada resuelve el problema de
minimizar el gasto para mantenerse enel nivel de
utilidad fijado.
{ Min XP; s.a. u-U(X)=0}
• Definición: Una curva de demanda compensada
muestra la relación entre el precio del bien (p) y
la cantidad comprada suponiendo que los otros
precios y la utilidad se mantienen constantes.
• La curva de demanda compensada
x*[U=u]=hx( px, py, u)

La Demanda Hicksiana
• Por tanto hx muestra como varia la cantidad
demandada x cuando varia suprecio (px )
manteniéndose constante los otros precios (py) y
la utilidad (u), es decir, "compensa" la renta del
individuo para mantener constante la utilidad.
• Por lo tanto, hx , sólo refleja los efectos
sustitución de las variaciones de los precios.
•

Si sustituimos la solución obtenida (las demandas
compensadas) en la función de gasto se tiene:

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Función de Gasto
• Sean las soluciones de lascurvas de demanda
compensada en la función objetivo
• y=hy(px, py, u)
• x=hx( px, py, u)
• Obtenemos la función de gasto.
• pxhx(px, py, u)+py hy(px, py, u) ≡ G(px, py, u)
• La función de gasto del consumidor muestra los
gasto mínimos necesario para alcanzar un
determinado nivel de utilidad con un determinado
conjunto de precios

La Función de Gasto
• Propiedades de la función de gasto.
• (1)...