Minas

∑

Operador Sumatoria.

Profesor
José Antonio Guevara.

Introducción de conceptos.

La variable.
Cuando, producto de una medición u observación de un fenómeno cualquiera obtenemos números diferentes, llamamos a esos números una variable; y la designamos, en genérico, por una letra, por ejemplo X, o Y, o Z, o cualquiera otra letra que se nos ocurra, pero la convención propone lasúltimas letras del alfabeto, en mayúscula y, por lo general, así se hace. Una variable puede ser las edades de unos alumnos de educación primaria; una variable puede ser el grado que estudian; otra variable la estatura; otra, las calificaciones obtenidas en una prueba de conocimientos; otra, el sector de la comunidad donde viven; otra, su género; otra, la opinión que tienen de su maestra.Supongamos que tenemos los siguientes valores de edades de un grupo de doce niños, y llamamos a la edad X, para identificarla de alguna manera, como es conveniente en Estadística. Así, X: 3, 8, 5, 12, 7, 8, 9, 4, 4, 5, 3, 6. En total doce valores.

El ordenador.
El primero de esos valores es 3, el segundo 8, el tercero 5, el cuarto 12, … y así sucesivamente hasta llegar al décimo primer valor, 6. Esdecir, estos valores están ordenados, tienen una posición dada, y para señalar este orden usamos una letra, por ejemplo i ó j y lo llamamos el ordenador; y si nos referimos al quinto valor, decimos
i = 5; y, por tanto, Xi=5 = 7. Que se lee: el quinto valor de la variable X es 7.
En el ejemplo que nos ocupa, i va desde 1 hasta 12 y si llamamos n al total de valores, en el ejemplo n = 12; demanera que los valores van desde i = 1 hasta i = 12. Y en general, los valores van desde i=1 hasta i = n

La sumatoria.
El llamado operador sumatoria es una convención matemática para sustituir con un solo símbolo, ∑ , la operación de suma de varios valores, estén estos definidos o no. La letra ∑ es una letra griega, sigma mayúscula; la sigma minúscula se escribe: σ.
Expliquemos esto deloperador sumatoria: en Estadística es muy usual la suma de varios valores; en verdad, es la operación más usual del cálculo y en definiciones estadísticas. Con el siguiente ejemplo veremos su conveniencia.
Si nos referimos a la suma de todos los valores del ejemplo de edades, diríamos:
“súmense (o, la suma de) los valores de la variable X (edad) desde el primero hasta el doceavo valor”Con el símbolo de sumatoria sería tan sólo:

12
∑ Xi = 3 + 8 + 5 + 12 + 7 + 8 + 9 + 4 + 4 + 5 + 3 + 6 = 74
i=1

La economía y la claridad son evidentes.
Si nos referimos a la suma de tan sólo un grupo de ellos, por ejemplo:
“súmense los valores de las edades, X, desde el tercero hasta el octavo”
8
Bastaría con: ∑ Xi = 5 + 12 + 7 + 8 + 9 + 4 = 45i=3

Cuando los valores no están definidos el operador sumatoria es de gran utilidad.
No definidos, en este caso, significa que se supone existen, pero que sus valores reales no vienen a cuento, no se tienen o no son necesarios por el momento. Un ejemplo de esto: En un número de, n = 15, familias nos interesa el ingreso monetario mensual; y a ese ingreso lo llamamos Ij; de manera quetendríamos acceso a los valores I1, I2, I3, … ,
Ij, … , I15. Podríamos referirnos a la suma total de lo percibido por esas familias como:

12
∑ Ij , y que por supuesto es lo mismo que: I1 + I2 + I3 +… + Ij + … + I15,
j=1

sólo que el símbolo ∑ es más fácil de escribir que el total de sumandos.

Como se sabe, en las matemáticas, es usual y conveniente el manejo simbólico deconceptos. Si, por ejemplo, nos referimos, en forma abstracta, a un conjunto de n valores obtenidos o no mediante el recurso de la medición o la observación, y esos valores son distintos entre ellos, llamamos a esos valores como ya hemos dicho, la variable y la designamos con una letra mayúscula, por ejemplo X; la suma de dichos valores sería:

X1 + X2 + X3 + X4 + … + Xi + … + Xn-1 + Xn....