Minimizacion de gastos

Minimización de costos
1. Una empresa produce el bien Q utilizando dos factores productivos trabajo y capital mediante la siguiente unción de producción:QK,L=2K0.5+L0.5
a) Hallar la función de costos de la empresa.
b) Mediante el lema de SHEPARD las funciones de demanda condicionales.
Solución:
* El problemaserá: min : C=wL+rK
sa: QK,L=Q0
* Luego aplicamos el Lagrangiano:
l=wL+rK+λQ0-2K0.5+L0.5
* Aplicando las condiciones de primerorden(CPO):
lL=0→w-λL-0.5=0 (1)
lK=0→r-λK-0.5 =0 (2)
lλ=0→ Q0-2K0.5+L0.5=0 (3)
* De (1) y (2):
wr=LK-0.5→ wr2=KL
Luego:L=rw2K (4)
K=wr2L (*)
* (4) en (3) se obtiene las funciones de demanda condicionales :
Q0=2K0.5+L0.5→Q0=2K0.5+2L0.5Q0=2K0.5+2rw2K0.5=2K0.5+2rwK0.5
Kw,r,Q=Q2w24w2+2wr+r2
K=Q241+rw2 → K=Kw,r,Q (5)


* (5) en (4): L=rw2K→L=wr2Q241+rw2
L= Q241+wr2 →L=L(w,r,Q) (6)
Lw,r,Q=Q2r24r2+2wr+w2

o

* Sea los costos: C=wL+rK (7)
(5) y (6) en (7):C=wL+rK→C=wQ241+wr2+rQ241+rw2
C=Q24w1+wr2+r1+rw2→C=Q24r2ww2+2wr+r2+rw2w2+2wr+r2
C=Q24rww+rw+rw+r
C=Q24rww+r


* Aplicando el lema de SHEPARD obtenemos las funciones de demandacondicionales:
Primero para el factor trabajo:
Lw,r,Q=dCw,r,Qdw=Q24rww+rdw=Q2r4w+4r-4Q2rw4w+4r2
Lw,r,Q=4Q2rw+r-w44r2+2wr+w2
Lw,r,Q=Q2r24r2+2wr+w2Aplicando el lema de SHEPARD para el factor K:
kw,r,Q=dCw,r,Qdr=Q24rww+rdr=Q2w4w+4r-4Q2rw4w+4r2
kw,r,Q=4Q2wr+w-r44w2+2wr+r2
kw,r,Q=Q2w24w2+2wr+r2